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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinamica Classica de Particulas e Sistemas - Marion- Ed: 5º - Capítulo 1.Problemas - Ex. 20

Demonstre que:

a ) underset(i , j)(sum) epsilon_i j k delta_i j = 0

b ) underset(j , k)(sum) epsilon_i j k epsilon_l j k = 2 delta_i l

c ) underset(i j k)(sum) epsilon_i j k epsilon_i j k = 6

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de matrizes, vetores e cálculo vetorial.

Item a

Considere os dois casos a seguir:

Q u a n d o i != j , delta_i j = 0 e epsilon_i j k != 0

Q u a n d o i = j , delta_i j != 0 e epsilon_i j k = 0

Portanto:

underset(i , j)(sum) epsilon_i j k delta_i j = 0

Item b

Procedemos da seguinte forma:

Q u a n d o j = k , epsilon_i j k = epsilon_i j j = 0

Temos então que:

epsilon_j 11 epsilon_l 11 = 0

Daí:

underset(j , k)(sum) epsilon_i j k epsilon_l j k = epsilon_i 12 epsilon_l 12 + epsilon_i 1 3 epsilon_l 1 3 + epsilon_i 21 epsilon_l 2 1 + epsilon_i 2 3 epsilon_l 2 3 + epsilon_i 3 1 epsilon_l 3 1 + epsilon_i 3 2 epsilon_l 32

Agora, suponha que i = l = 1, então:

underset(j k)(sum) = epsilon_1 23 epsilon_1 23 + epsilon_1 32 epsilon_1 32 = 1 + 1 = 2

De forma similar, se i = l = 2:

underset(j k)(sum) = epsilon_2 1 3 epsilon_2 1 3 + epsilon_2 3 1 epsilon_2 3 1 = 1 + 1 = 2

E se i = l = 3:

underset(j k)(sum) = epsilon_3 12 epsilon_3 12 + epsilon_32 1 epsilon_32 1 = 1 + 1 = 2

Portanto:

underset(j , k)(sum) epsilon_i j k epsilon_l j k = 2 delta_i l

Item c

underset(i j k)(sum) epsilon_i j k epsilon_l j k = epsilon_12 3 epsilon_12 3 + epsilon_1 3 2 epsilon_1 3 2 + epsilon_21 3 epsilon_21 3 + epsilon_3 12 epsilon_3 12 + epsilon_2 31 epsilon_2 31 + epsilon_32 1 epsilon_32 1 =

= 1 * 1 + (- 1) * (- 1) + (- 1) * (- 1) + 1 * 1 + 1 * 1 + (- 1) * (- 1) = 6

Portanto:

underset(i j k)(sum) epsilon_i j k epsilon_i j k = 6

Resposta

Ver passo a passo.

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