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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinamica Classica de Particulas e Sistemas - Marion- Ed: 5º - Capítulo 1.Problemas - Ex. 35

Demonstre que o volume comum aos cilindros de interseção definidos por x2 + y2 = a2 e x2 + z2 = a2 é V = 16a3/3.

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de matrizes, vetores e cálculo vetorial.

Calculamos o volume da interseção dos dois cilindros dividindo o volume da interseção em duas partes. Parte do volume comum é o de um dos cilindros, por exemplo, aquele ao longo do eixo y, entre y = –a e y = a:

V 1 = 2 π a 2 a = 2 π a 3

O restante do volume comum é formado por 8 partes iguais do outro cilindro (aquele ao longo do eixo x). Uma dessas partes se estende de x = 0 a x = a, y = 0 até y = a 2 - x 2 ,   z = a até z = = a 2 - x 2 . O volume complementar é então:

V 2 = 8 ∫ 0 a d x ∫ 0 a 2 - x 2 d y ∫ 0 a 2 - x 2 d z = 8 ∫ 0 a d x a 2 - x 2 a 2 - x 2 - a =

= 8 a 2 x - x 3 3 - a 2 2 s e n - 1 x a x = a - a 2 x - x 3 3 - a 3 2 s e n - 1 x a x = 0 =

= 8 a 3 - a 3 3 - a 3 2 π 2 = 16 3 a 3 - 2 π a 3

Somando os dois volumes temos que o volume total da interseção é:

V = V 1 + V 2 = 2 π a 3 + 16 3 a 3 - 2 π a 3 = 16 3 a 3

Resposta

Ver passo a passo.

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