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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinamica Classica de Particulas e Sistemas - Marion- Ed: 5º - Capítulo 1.Problemas - Ex. 29

Encontre o ângulo entre as superfícies definidas por

r 2 = 9   e   x + y + z 2 = 1   n o   p o n t o   2 ,   - 2 ,   1 .

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de matrizes, vetores e cálculo vetorial.

Vamos descrever a superfície S1 e r2 = 9 e descrever a superfície S2 por x +y + z2 = 1. O ângulo θ entre as superfícies e no ponto (2, –2, 1) é o ângulo entre as normais a essas superfícies no ponto. O vetor normal a S1 é:

∇ S 1 = ∇ r 2 - 9 = ∇ x 2 + y 2 + z 2 - 9 = 2 x e 1 + 2 y e 2 + 2 z e 3 | x = 2 , y = - 2 , z = 1

*Aqui usamos: r 2 = x 2 + y 2 + z 2 , e para o gradiente “sumir” fizemos as derivadas parciais das três variáveis e somamos os resultados.

∇ S 1 = 4 e 1 - 4 e 2 + 2 e 3

Aplicando o mesmo procedimento para a superfície S2 teremos:

∇ S 2 = ∇ x + y + z 2 - 1 = e 1 + e 2 + 2 z e 3 | x = 2 , y = - 2 , z = 1 = e 1 + e 2 + 2 e 3

O ângulo entre as superfícies, ou seja, entre os vetores normais, é dado por:

cos ⁡ θ = ∇ S 1 ∙ ∇ S 2 ∇ S 1 ∇ S 2 = 4 e 1 - 4 e 2 + 2 e 3 ∙ e 1 + e 2 + 2 e 3 4 2 + - 4 2 + 2 2 1 2 + 1 2 + 2 2 =

= 4 - 4 + 4 36 6 = 4 6 6 = > θ = a r c cos ⁡ 4 6 6 ≅ 74,21 °

Resposta

74,21⁰.

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Decomponha F 1 nas componentes que atuam ao longo dos eixos u e v e determine suas intensidades.
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