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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinamica Classica de Particulas e Sistemas - Marion- Ed: 5º - Capítulo 1.Problemas - Ex. 23

Utilize a notação epsilon_i j k e derive a identidade

(A xx B) xx (C xx D) = (A B D) C - (A B C) D

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de matrizes, vetores e cálculo vetorial.

Escrevendo:

(A xx B)_j = underset(l m)(sum) epsilon_j l m A_l B_m e (C xx D)_k = underset(r s)(sum) epsilon_k r s C_r D_s

Teremos que:

[(A xx B) xx (C xx D)]_j = underset(j k)(sum) epsilon_i j k (underset(l m)(sum) epsilon_j l m A_l B_m) (underset(r s)(sum) epsilon_k r s C_r D_s) =

= underset(j k l m r s)(sum) epsilon_i j k epsilon_j l m epsilon_k r s A_l B_m C_r D_s = underset(j l m r s)(sum) epsilon_j l m (underset(k)(sum) epsilon_i j k epsilon_k r s) A_l B_m C_r D_s =

= underset(j l m r s)(sum) epsilon_j l m (delta_i r delta_j s - delta_i s delta_j r) A_l B_m C_r D_s = underset(j l m)(sum) epsilon_j l m (A_l B_m C_i D_j - A_l B_m C_j D_i) =

= (underset(j l m)(sum) epsilon_j l m A_l B_m D_j) C_i - (underset(j l m)(sum) epsilon_j l m A_l B_m C_j) D_i = (A B D) C_i - (A B C) D_i

Portanto:

(A xx B) xx (C xx D) = (A B D) C - (A B C) D

Resposta

Ver passo a passo.

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