Desenvolver uma expressão aproximada para o ângulo de torção de um eixo, de forma de tronco de cone no Prob 3.56, substituindo o tronco de cone por n eixos cilíndricos de iguais comprimentos e raios r i = ( n + i - 1 2 ) / ( c / n ) , onde i = 1,2 , … ,   n . Qual é a resposta do Prob. 3.56 e a porcentagem de erro nesta resposta, se a expressão obtida for usada com (a) n=4, (b) n=8 (c) n=20; (d) n=100

Passo 1

Vamos fazer o mesmo processo da questão anterior, mas com n = 8

Então:

b a s e : Δ y = L 8 = 0,125 L

Agora vamos calcular diferentes alturas:

f y = 1 y 4

f L = 1 L 4 f 1,125 L = 4096 6561 ⋅ L 4 f 1,25 L = 256 625 L 4 f 1,375 L = 4096 14641 L 4

f 1,5 L = 16 81 L 4 f 1,625 L = 4069 28561 L 4 f 1,75 L = 256 2401 L 4 f 1,875 L = 4096 50625 L 4

E agora calculamos a Soma de Riemman:

∑ 1 4 1 y 4 Δ y = ( f L + f 1,125 L + f 1,25 L + f 1,375 L + ∑ 1 4 1 y 4 Δ y = + f 1,5 L + f 1,625 L + f 1,75 L + f 1,875 L ) ⋅ Δ y

∑ 1 4 1 y 4 Δ y = 1 + 4096 6561 + 256 625 + 4096 14641 + 16 81 + 4069 28561 + 256 2401 + 4096 50625 1 8 L 3

∑ 1 4 1 y 4 Δ y = 0 , 3551 L 3

Passo 2

E aplicamos a soma na equação do ângulo de torção:

ϕ = 2 L 4 T G π c 4 ⋅ ∑ 1 y 4 Δ y

ϕ = 2 L 4 T G π c 4 ⋅ 0,3551 L 3

Logo:

ϕ = 0 , 7103 ⋅ L T G π c 4

Passo 3

A resposta analítica é:

ϕ A = 7 12 L T π G c 4

E nós encontramos:

ϕ = 0 , 7103 ⋅ L T π G c 4

Se dividirmos um pelo outro encontraremos o erro e subtraindo 1

E r r o = ϕ ϕ A - 1 = 0,7103 ⋅ L T π G c 4 7 12 L T π G c 4 - 1 = 0,7103 7 12 = 0 , 2177

E r r o = 21,77 %

Resposta

E r r o = 21,77 %

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