Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 2.10 - Ex. 237
O deslocamento angular da centrífuga é dado por , onde é expresso em segundos e é o instante da partida. Se o ser humano perde a consciência em um nível de aceleração de , determine o tempo em que isso ocorreria. Verifique que a aceleração tangencial é desprezível quando a aceleração normal se aproxima de .
Passo 1
Vamos encontrar expressões para a aceleração tangencial e a centrípeta em coordenadas polares.
Começando pela tangencial. O deslocamento é dado por:
Se derivarmos em relação ao tempo chegamos em:
Mas como o raio é constante, sua derivada temporal é nula:
E fazendo a mesma coisa para a próxima derivada chegamos em:
Beleza, e a aceleração centrípeta?
Ok, já temos as duas expressões.
Passo 2
Agora vamos substituir a função do enunciado nas expressões que nós encontramos:
Resolvendo as duas vamos achar o seguinte:
Ótimo, já temos as duas acelerações em função do tempo!
Passo 3
Vamos supor (e depois verificar), que a aceleração tangencial fica desprezível quando se aproxima de , nesse caso, podemos considerar apenas a função para descobrir o instante em que a aceleração atinge esse valor:
E agora substituindo os valores:
E tirando o logaritmo natural dos dois lados:
Ok, uma resposta razoável.
Passo 4
Agora vamos verificar que a aceleração tangencial é mesmo desprezível quando tem esse valor:
É só substituir e
Considerando que nesse mesmo instante nós vimos que , está confirmado que é realmente desprezível!
Resposta
Isso ocorre no instante , e a aceleração normal é quase vezes maior que a tangencial nesse instante.