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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - J. L. Meriam - Estática - Mecânica para Engenharia- Ed: 7º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 62

Despreze a massa dos elos cruzados e determine o ângulo θ para a posição de equilíbrio do mecanismo simétrico no plano vertical. Cada um dos blocos retangulares idênticos de massa m é homogêneo com centro de massa em G. Avalie θ para equilíbrio quando b = a.

Passo 1

Primeiro, vamos desenhar o diagrama de força ativa

Observe que não há forças externas agindo nem molas ligadas ao sistema, portanto, podemos escrever a equação de equilíbrio como

δ V = 0 δ V g = 0

Conectando os pontos BD e AC, podemos fazer quatro triângulos retângulos a partir do losango ABCD. Olhando para um desses triângulos, podemos escrever o ângulo β como

β = 90 ∘ - θ 2

Também podemos notar que a soma dos ângulos α e β em 90 ∘, portanto, podemos escrever a como

α = 90 ∘ - β

Substituiremos β por 90 ∘ - θ 2

α = 90 ∘ - 90 ∘ - θ 2 α = θ 2

Do esboço, vemos que a altura h é

h = 2 a c o s ⁡ θ 2 + b 2 s i n ⁡ α

Substituiremos α  by  θ 2

h = 2 a c o s ⁡ θ 2 + b 2 s i n ⁡ θ 2

Passo 2

Uma vez que temos duas massas idênticas com alturas idênticas, podemos escrever a expressão para a energia potencial gravitacional como

V g = 2 m g h

Substituiremos h por 2 a c o s ⁡ θ 2 + b 2 s i n ⁡ θ 2

V g = 2 m g 2 a c o s ⁡ θ 2 + b 2 s i n ⁡ θ 2

Derivaremos ambos lados da equação

δ V g = 2 m g - a s i n ⁡ θ 2 + b 4 c o s ⁡ θ 2 δ θ

substituiremos δ V g pela expressão ( 2 ) na equação do equilíbrio (1)

2 m g - a s i n ⁡ θ 2 + b 4 c o s ⁡ θ 2 δ θ = 0

Dividiremos ambos lados da equação por 2 m g δ θ

- a s i n ⁡ θ 2 + b 4 c o s ⁡ θ 2 = 0

a s i n ⁡ θ 2 = b 4 c o s ⁡ θ 2 sin ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 2 = b 4 a θ 2 = t a n - 1 ⁡ b 4 a

Expressaremos o ângulo θ em um sistema em equilíbrio como

θ = 2 t a n - 1 ⁡ b 4 a

θ = 28.07 ∘

Passo 3

substituiremos b por a na expressão final para o ângulo θ

θ = 2 t a n - 1 ⁡ a 4 a θ = 28.07 ∘

Resposta

θ = 2 t a n - 1 ⁡ b 4 a

Para a = b θ = 28.07 ∘

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O “pantógrafo de Nuremberg” está sujeito a uma força horizontal P=600N . Determine a rigidez k da mola para o equilíbrio quando θ = 60 ° . A mola não está esticada quando θ = 15 ° .
Uma mesa de servir uniforme de 5k g está apoiada em cada lado por um par de membros idênticos, A B e C D , e molas C E . Se a tigela tem massa de 1k g , determine o ângulo u quando a mesa está em equi
Se cada um dos três elementos do mecanismo possui massa de 4k g , determine o ângulo θ para que haja equilíbrio. A mola, que sempre permanece vertical, não está esticada quando θ = 0 ° .
O “pantógrafo de Nuremberg” está sujeito a uma força horizontal P=600N . Determine o ângulo θ de equilíbrio. A mola tem rigidez k = 15k N / m e não está esticada quando θ = 15 ° .
O disco está sujeito a um momento de binário M . Determine a rotação θ do disco necessária para que haja equilíbrio. A extremidade da mola envolve o perímetro do disco enquanto ele gira. A mola está o