Enunciado

Para determinar a localização do centro de gravidade do automóvel, ele primeiro é colocado em uma posição nivelada, com as duas rodas em um lado apoiando sobre a plataforma P de uma balança. Nessa posição, a balança registra uma leitura de W 1 . Depois, um lado é elevado para uma altura conveniente c , conforme mostra a figura. A nova leitura na escala é W 2 . Se o automóvel tem um peso total de W , determine a localização de seu centro de gravidade G ( x - ,   y - ).

Passo 1

O problema pede que encontremos o centro de gravidade G do carro. E nos dá duas situações. A ideia aqui é a gente usar o fato de que a resultante do peso W do carro está localizado no centro de gravidade e que o carro está em equilíbrio nas duas situações.

A partir das equações de equilíbrio das duas situações, podemos achar as coordenadas de G .

Então vamos analisar um pouco quando o carro está nivelado:

A gente pode usar o momento para ver o que a gente encontra sobre as forças de reação na roda do carro, então vamos usar a equação de equilíbrio do momento, tendo como eixo de rotação o ponto A , considerando o sentido horário positivo

∑ M A = 0

W x - - W 1 b = 0

Logo:

x - = W 1 ( b ) W

Repara que já achamos x - ! Vamos seguir!

Passo 2

Beleza, agora a gente vai analisar quando o carro estiver inclinado.

Precisamos dos senos e cossenos do ângulo de inclinação para conseguir fazer as equações de equilíbrio da situação inclinada, já que vamos precisar decompor umas coisinhas em relação ao eixos vertical e horizontal.

Temos esse triângulo na figura, usando Pitagoras para completar o lado que falta:

Assim a gente percebe que:

sen ⁡ θ = c b

cos ⁡ θ = b 2 - c 2 b

Passo 3

Agora a gente faz o diagrama de corpo livre com o carro inclinado:

E denovo a gente usa a equação de equilíbrio pro momento no ponto A ' . Repara que o que está inclinado, a gente vai decompor nos eixos vertical e horizontal, para ter os braços de alavanca certinho de cada força.

∑ M A ' = 0

W 2 b ⋅ cos ⁡ θ - W x - ⋅ cos ⁡ θ - W y - ⋅ sen ⁡ θ = 0

W 2 b ⋅ b 2 - c 2 b - W W 1 ( b ) W ⋅ b 2 - c 2 b - W y - ⋅ c b = 0

W y - c b = W 2 b ⋅ b 2 - c 2 b - W W 1 b W ⋅ b 2 - c 2 b

W y - c b = W 2 b 2 - c 2 - W 1 b 2 - c 2 W

y - = b W 2 - W 1 b 2 - c 2 c W

Resposta

x - = W 1 ( b ) W

y - = b W 2 - W 1 b 2 - c 2 c W

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