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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia Estática - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 12

Determine o ângulo θ ( 0 ° ≤ θ ≤ 180 ° ) da força F de modo que ela produza um momento máximo e um momento mínimo em relação ao ponto A . Além disso, quais são as intensidades desses momentos máximo e mínimo?

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Pra começar vamos pensar em alguns conceitos sobre o momento de uma força.

Lembra que o vetor momento é dado por:

M → = F → × d →

Como isso é um produto vetorial, podemos escrever na forma escalar como:

M = F ∙ d ∙ s e n φ

Onde φ é o ângulo entre os vetores força e distância. E visto que o momento depende então da função seno, ela terá o seu valor máximo quando:

φ = 90 °

Nesse caso, o diagrama de corpo livre do exercício vai ser dado por:

Já para o momento com valor mínimo:

φ = 0 °

Tal que o diagrama é:

Passo 2

Dessa forma, a partir do primeiro diagrama, podemos definir que o ângulo que dará o momento máximo será definido por:

θ m á x = 180 ° - 90 ° - ϕ = 90 ° - ϕ

Onde, através das relações trigonométricas do triangulo de catetos 3 e 6 formados no diagrama do corpo livre, teremos:

θ m á x = 90 ° - t g - 1 6 3

Logo:

θ m á x = 90 ° - 63,43 °

E, portanto:

θ m á x = 26,57 °

Passo 3

Tendo a angulação máxima, podemos determinar o momento máximo:

M m á x = F ∙ d ∙ s e n φ

Pela temos que:

d = 6 2 + 3 ² = 45

Logo:

M m á x = 6   k N 45 s e n 90 ° = 40,2   k N ∙ m

Passo 4

Da mesma maneira, a partir do desenho ( b ) , podemos definir que o ângulo que dará o momento mínimo será de:

ϕ m í n = t g - 1 6 3 = 63,43 °

Tal que:

θ m í n = 180 ° - ϕ m í n = 180 ° - 63,43 °

θ m í n = 116,57 °

Passo 5

E o momento mínimo terá um valor de:

M m í n = F ∙ d ∙ s e n φ

Logo:

M m í n = F ∙ d ∙ s e n 0 ° = 0

Resposta

θ m á x = 26,57 °

M m á x = 40,2   k N ∙ m

θ m í n = 116,57 °

M m í n = 0

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