Determine o ângulo θ para haver equilíbrio e investigue a estabilidade nessa posição. As hastes possuem massa de 3   k g cada uma e o bloco suspenso D tem massa de 7   k g . A corda D C tem comprimento total de 1   m .

Passo 1

Fala galera, tudo certo? Bora fazer mais um exercício? Prometo que vai ser bem rapidinho!

O enunciado nos pede para determinar o ângulo θ para que a estrutura composta por duas hastes de 3   k g cada e um bloco suspenso de 7   k g fique em equilíbrio. Pede ainda para descobrir se nesta posição a estrutura está estável.

Então bora lá! Para resolver esse problema, vamos começar analisando o diagrama de corpo livre:

Onde as distâncias L 1 , y 1 e y 2 são:

L 1 = 2 * 0,5 cos ⁡ θ - 0,5

L 1 = cos ⁡ θ - 0,5

y 1 = 0,5 2 sen ⁡ θ

y 1 = 0,25 sen ⁡ θ

y 2 = 1 - L 1

y 2 = 1 - cos ⁡ θ - 0,5

y 2 = 1 , 5 - cos ⁡ θ

As forças W 1 representam os pesos das barras:

W 1 = 3 * 9,81

W 1 = 29,43   N

E W 2 o peso do bloco suspenso:

W 2 = 7 * 9,81

W 2 = 68,67   N

Passo 2

Show de bola! Vamos começar então formulando a equação da energia potencial V desse sistema. Como temos atuando apenas W 1 e W 2 e não há nenhuma mola na estrutura, a energia potencial nesse caso será apenas gravitacional e é dada por:

V = V g

V = 2 W 1 y 1 - W 2 y 2

Neste caso, como as duas forças W 1 estão acima do d a t u m , a energia potencial gravitacional gerada por elas é positiva, W 2 por sua vez, está abaixo do d a t u m , logo gera uma energia potencial gravitacional negativa. Substituindo com os termos que calculamos no Passo 1:

V = 2 * 29,43 * 0,25 sen ⁡ θ - 68,67 * 1 , 5 - cos ⁡ θ

V = 14,715 sen ⁡ θ - 103,005 + 68,67 cos ⁡ θ

Passo 3

Beleza, agora que nós temos a equação da energia potencial do sistema, para determinar o ângulo θ para a condição de equilíbrio do corpo, podemos simplesmente fazer a derivada de V em relação a θ e igualar a zero. Ou seja:

d V d θ = 0

d d θ 14,715 sen ⁡ θ - 103,005 + 68,67 cos ⁡ θ = 0

14,715 cos ⁡ θ - 68,67 sen ⁡ θ = 0

tan ⁡ θ = 14,715 68,67

θ = tan - 1 ⁡ 14,715 68,67

θ = 12,1 °

Passo 4

Até aqui tranquilinho né? Nosso próximo passo é determinar se para essa posição de equilíbrio com θ = 12,1 ° , a estrutura está estável. Para isso, precisamos analisar a derivada de segunda ordem da equação da energia potencial em relação a θ . Se o resultado for maior que zero, o sistema está estável na condição de equilíbrio.

d 2 V d θ 2 = d 2 d θ 2 14,715 sen ⁡ θ - 103,005 + 68,67 cos ⁡ θ

d 2 V d θ 2 = d d θ 14,715 cos ⁡ θ - 68,67 sen ⁡ θ

d 2 V d θ 2 = - 14,715 sen ⁡ θ - 68,67 cos ⁡ θ

Para a posição de equilíbrio θ = 12,1 ° , então:

d 2 V d θ 2 = - 14,715 sen ⁡ 12,1 ° - 68,67 cos ⁡ 12,1 °

d 2 V d θ 2 = - 70,23 < 0

Logo, a estrutura está em equilíbrio mas não está estável.

É isso, galera. Até que foi de boa né?

Partiu pra próxima!

Resposta

θ = 12,1 °

I n s t á v e l

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