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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Estática- Ed: 9º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 81

Sabendo que a mola está indeformada quando θ = 0 ,   dado P = 135 N ,   a = 100 m m ,   b = 75 m m ,   r = 150 m m   e   k = 0,9 k N / m d e t e r m i n e dois valores de θ para equilíbrio e determine a estabilidade para essas posições.

Passo 1

Fala aí galera, vamos para mais um problema de estática.

Sabemos que para encontrar a posição de equilíbrio, devemos encontrar a expressão da energia potencial e igualar sua derivada a 0. Logo, sabemos que:

V m o l a   = 1 2 k x 2

V = b s e n θ P

Sabemos que a deformação da mola é dada por:

x = 2 × a s e n ( θ )

Portanto:

V = 1 2 k × 4 a 2 s e n 2 θ + P b s e n θ = 2 k a 2 s e n 2 θ + P b s e n ( θ )

Vamos agora derivar a expressão:

V ' = 4 k a 2 s e n θ cos ⁡ θ + P b c o s ( θ )

Portanto, a expressão que satisfaz o equilíbrio será:

4 k a 2 s e n θ cos ⁡ θ + P b c o s ( θ ) = 0

4 k a 2 s e n θ + P b = 0

- P b 4 k a 2 = s e n θ

Substituindo:

s e n θ = - 0,28125

θ = - 16,33 ; θ = - 163,67

Passo 2

Para determinar a estabilidade, vamos precisar da segunda derivada:

V ' ' = 4 k a 2 - s e n 2 θ + c o s 2 θ - P b s e n ( θ )

Substituindo, vamos estudar o sinal da função:

V ' ' - 16,33 = 36000 0,908 - 135 × 75 × s e n ( - 16,33 ) = 35534,83 → E s t á v e l

V ' ' - 163,67 = 36000 0,908 - 135 × 75 × s e n ( - 163,67 ) = 35534,83 → E s t á v e l

Resposta

θ = - 16,33 → E s t á v e l

θ = - 163,67 → E s t á v e l

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