Enunciado

Determine o ângulo coordenado γ para F 2 e depois expresse cada força que atua sobre o suporte como um vetor cartesiano.

Passo 1

Para achar o ângulo coordenado γ de F 2 basta usar a relação:

cos 2 ⁡ α + cos 2 ⁡ β + cos 2 ⁡ γ = 1

Assim:

cos 2 ⁡ 45 ° + cos 2 ⁡ 60 ° + cos 2 ⁡ γ = 1

cos 2 ⁡ γ = 1 4

γ = cos - 1 ⁡ ± 1 2

Consideraremos - 1 2 já que nossa força está no sentido negativo no eixo z e nosso ângulo será obtuso:

γ = 12 0 °

Passo 2

Agora expressando cada força como um vetor cartesiano:

Para F 1 :

De início já podemos encontrar a direção k , dado que a força faz 45 ° com o plano x y :

F 1 z = F 1 sin ⁡ 45 °

F 1 z = 450 sin ⁡ 45 °

F 1 z = 318   N

Já, a projeção no plano x y é dada por:

F 1 x y = F 1 cos ⁡ 45 °

F 1 x y = 450 cos ⁡ 45 °

F 1 x y = 318   N

E então decompomos em x e y :

Temos em x :

F 1 x = F 1 x y sin ⁡ 30 °

F 1 x = 318   sin ⁡ 30 °

F 1 x = 159   N

E temos em y :

F 1 y = F 1 x y cos ⁡ 30 °

F 1 y = 318   cos ⁡ 30 °

F 1 y = 275   N

E o vetor cartesiano de F 1 fica:

F 1 = - 159 i + 275 j + 318 k   N

Perceba que a direção i é negativa de acordo com o sentido da força na imagem.

Passo 3

Agora para a força F 2 usamos as relações com os ângulos diretores:

Para x :

cos ⁡ α = F 2 x F 2

F 2 x = 600 cos ⁡ 45 °

F 2 x = 424   N

Para y :

cos ⁡ β = F 2 y F 2

F 2 y = 600 cos ⁡ 60 °

F 2 y = 300   N

E Para z :

cos ⁡ γ = F 2 z F 2

F 2 z = 600 cos ⁡ 120 °

F 2 z = - 300   N

E o vetor cartesiano de F 2 fica:

F 2 = 424 i + 300 j - 300 k N

Resposta

γ = 120 °

F 1 = - 159 i + 275 j + 318 k   N

F 2 = 424 i + 300 j - 300 k N

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