Enunciado

Determine a carga máxima P que a estrutura pode suportar sem provocar flambagem no elemento estrutural A B . Considere que AB é feito de aço e que suas extremidades estão presas por pinos para flambagem no eixo y - y e engastadas em ambas as extremidades para flambagem no eixo x - x .   E a ç o = 200   G P a , σ e = 360   M P a .

Passo 1

Falaaa! Queremos a carga P máxima que não causa flambagem na nossa coluna A B . Basicamente vamos achar a carga na nossa coluna em função de P e comparar com as cargas críticas da flambagem para descobrir P .

Lembrando que para o aço, E = 200   G P a .

Primeiro, vamos fazer o DCL dessa estrutura:

Passo 2

Agora, vamos determinar a carga na barra AB em função de P ;

∑ M B = 0

0,6 F A C 6 - P × 6 = 0 F A C = 1,667 P

Pelo equilíbrio de forças em y :

F A B = B y = 0,8 F A C

F A B = 1,333   P

Passo 3

Precisamos comparar essa força em A B com as cargas críticas de flambagem. Então vamos calculá-las! E como essas cargas são as cargas máximas que nossa haste pode suportar sem flambar, podemos igualar

F A B = P c r

E descobrir P .

Vamos então, usar a fórmula da carga crítica para a flambagem:

P c r = π 2 E I ( K L ) 2

Normalmente, só calculamos em relação ao I menor. Mas como a haste tem condições diferentes de apoio para cada caso, vamos calcular esse carga para cada caso, tá bem?

Para todos esses casos, vamos ter:

E = 200   G P a ,     L = 6   m

Passo 4

Vamos olhar o caso onde nossa haste pode flambar em torno de y - y . Nesse caso, ela está presa por pinos, então k = 1 .

O momento de inércia fica:

I y = 0,1 ⋅ 0,05 3 12

E agora, substituindo os valores numéricos pertencentes a cada variável, lembrando que L é o comprimento da haste, chegamos até:

P c r = π 2 E I y k L 2 = F A B

P c r = π 2 200 × 10 3 100 × 50 3 12   1 × 6000 2 = 1,333 P P = 42,8   k N

Passo 5

Agora para o caso onde ela pode flambar em torno de x - x , como ela está engastada nas duas pontas, temos k = 0,5 .

O momento de inércia fica:

I x = 0,1 3 ⋅ 0,05 12

E agora, substituindo os valores numéricos pertencentes a cada variável, lembrando que L é o comprimento da haste, chegamos até:

P c r = π 2 E I y k L 2

P c r = π 2 200 × 10 3 100 3 × 50 12   0,5 × 6000 2 = 1,333 P P = 685,5   k N

Escolhemos então o menor valor de P que a gente achou.

P = 42,8   k N

Passo 6

Com isso, vamos substituir na fórmula tensão crítica para comparamos com o valor dado e saber se não há escoamento do material para essa carga em A B :

σ c r = P c r A = F A B A = 1,333 P A

σ c r = 1,333 × 42836,84   50 × 100 = 11,43   M P a < σ e = 360   M P a OK!

Ufa! Terminamos!

Resposta

P = 42,8   k N

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