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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Estática- Ed: 9º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 135

Determine o centroide da seção mostrada na figura, que foi obtida pelo corte de um tubo circular fino por dois planos inclinados.

Passo 1

Antes de começar o exercício, devemos notar que a simetria do sólido implica em x - = 0 . Agora vamos escolher o elemento diferencial de volume como sendo uma faixa de largura a d θ , espessura t e altura ( y 2 - y 1 ) , dessa forma, temos:

d V = y 2 - y 1 t a d θ

E ainda:

y - E L = 1 2 y 1 + y 2 z - E L = z

Agora, com o auxílio do desenho do enunciado, temos:

y 2 = 2 h 3 2 a z + 2 3 h ;     y 1 = h 3 2 a z + h 6 ;   z = acos ⁡ θ

Então, calculando as parcelas de interesse, temos:

y 2 - y 1 = h 3 a - a cos ⁡ θ + 2 a - h 6 a a cos ⁡ θ + a → y 2 - y 1 = h 2 ( 1 - cos ⁡ θ )

y 1 + y 2 = h 6 a a cos ⁡ θ + a + h 3 a - a cos ⁡ θ + 2 a → y 1 + y 2 = h 6 5 - cos ⁡ θ

Agora, substituindo esses valores na equação para d V e para y - E L :

d V = a h t 2 1 - cos ⁡ θ d θ

y - E L = h 12 5 - cos ⁡ θ

z - E L = a cos ⁡ θ

Passo 2

Então, integrando a equação para o volume, temos:

V = 2 ∫ 0 π a h t 2 1 - cos ⁡ θ d θ

Resolvendo a integral do lado direito, temos:

V = a h t θ - s e n   θ 0 π

Substituindo os limites de integração:

V = a h t π - 0 → V = π a h t

Agora, integrando a expressão para:

∫ y - E L d V = 2 ∫ 0 π h 12 5 - cos ⁡ θ a h t 2 1 - cos ⁡ θ d θ

Reescrevendo a integral, temos:

∫ y - E L d V = a h 2 t 12 ∫ 0 π 5 - 6 cos ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ d θ

Resolvendo a integral:

∫ y - E L d V = a h 2 t 12 5 θ - 6 s e n θ + θ 2 + s e n 2 θ 4 0 π

Substituindo os limites de integração:

∫ y - E L d V = a h 2 t 12 5 π - 0 + π 2 + 0 - 0

E, simplificando a expressão:

∫ y - E L d V = 11 24 π a h 2 t

Passo 3

Agora fazendo o mesmo procedimento para:

∫ z - E L d V = 2 ∫ 0 π a cos ⁡ θ a h t 2 1 - cos ⁡ θ d θ

Reescrevendo a integral, temos:

∫ z - E L d V = a 2 h t ∫ 0 π cos ⁡ θ - cos 2 ⁡ θ d θ

Resolvendo a integral:

∫ z - E L d V = a 2 h t s e n θ - θ 2 - s e n 2 θ 4 0 π

Substituindo os limites de integração:

∫ z - E L d V = a h 2 t 0 - π 2 + 0 - 0

E, simplificando a expressão:

∫ z - E L d V = - 1 2 π a 2 h t

Agora, substituindo os valores encontrados na equação:

y - V = ∫ y - E L d V → y - π a h t = 11 24 π a h 2 t

Isolando y - , temos:

y - = 11 24 h

Agora, substituindo os valores encontrados na equação:

z - V = ∫ z - E L d V → z - π a h t = - 1 2 π a 2 h t

Isolando z - , temos:

z - = - 1 2 a

Resposta

x - = 0

y - = 11 24 h

z - = - 1 2 a

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