Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Estática- Ed: 9º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 129
Determine o centróide do sólido gerado pela revolução da parte da curva senoidal mostrada na figura em torno do eixo . (Dica: use uma casa cilíndrica delgada de raio e espessura como elemento do sólido).
Passo 1
Tá legal, vamos lá! A primeira coisa que devemos notar é que como o sólido vai rotacionar sobre o eixo com aquela área, temos que e . Então, do enunciado, temos que a equação da curva é:
Agora, conforme a dica do enunciado, o elemento diferencial de volume é dado por:
Agora, chamando de e substituindo a equação para temos: temos:
Passo 2
Então, aplicando a integral dos dois lados dessa expressão, temos:
Para resolver a integral, precisamos utilizar o método de integração por partes, com:
Então, substituindo esses valores, temos:
Resolvendo a segunda integral, temos:
Substituindo os limites de integração:
Então, simplificando a expressão, temos o volume para a figura gerada:
Passo 3
Agora podemos usar a expressão que relaciona o centro de massa em com o volume do sólido em estudo, lembrando que nesse caso a coordenada :
Então, substituindo o valor de e :
Substituindo o valor de encontrado no passo 1:
E, reescrevendo a expressão, temos:
Para resolver essa integral, vamos precisar usar integração por partes, fazendo:
Reescrevendo a integral, temos:
Resolvendo a segunda integral, temos:
Substituindo os limites de integração, temos:
Então, simplificando a expressão e substituindo o valor de encontrado no passo 2:
E, isolando da equação, temos: