Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Estática- Ed: 9º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 136
Determine o centroide da seção mostrada na figura, que foi obtida pelo corte de um cilindro elíptico por um plano inclinado.
Passo 1
Antes de começar o exercício, devemos notar que a simetria do sólido implica em . Agora vamos escolher o elemento diferencial de volume como sendo uma faixa de largura , espessura e altura , dessa forma, temos:
E ainda:
Como temos um cilindro elíptico, sua equação é dada por:
Agora, substituindo esses valores na equação para , e para :
Passo 2
Então, integrando a equação para o volume, temos:
Para resolver essa integral, vamos utilizar a substituição , então, reescrevendo a integral:
Reescrevendo a integral, temos:
Resolvendo a integral do lado direito, temos:
Substituindo os limites de integração:
Agora, integrando a expressão para:
Reescrevendo a integral, temos:
Para resolver a integral, vamos aplicar a substituição , substituindo esses valores, temos:
Reescrevendo a integral:
Das identidades trigonométricas, temos:
Substituindo esses valores na integral e reescrevendo:
Resolvendo a integral:
Substituindo os limites de integração:
E, simplificando a expressão:
Passo 3
Agora fazendo o mesmo procedimento para:
Reescrevendo a integral, temos:
Para resolver a integral, vamos aplicar a substituição , substituindo esses valores, temos:
Reescrevendo a integral:
Das identidades trigonométricas, temos:
Substituindo esses valores na integral e reescrevendo:
Resolvendo a integral:
Substituindo os limites de integração:
E, simplificando a expressão:
Agora, substituindo os valores encontrados na equação:
Isolando , temos:
Agora, substituindo os valores encontrados na equação:
Isolando , temos: