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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Estática- Ed: 9º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 128

Determine o centróide do sólido gerado pela revolução da parte da curva senoidal mostrada na figura em torno do eixo x .

Passo 1

Tá legal, vamos lá! A primeira coisa que devemos notar é que como o sólido vai rotacionar sobre o eixo x com aquela área, formando um parabolóide, temos que y - = 0 e z - = 0 . Então, do enunciado, temos que a equação da curva é:

y = b s e n π x 2 a

Agora, como já vimos nessa seção do livro, o elemento diferencial de volume de um disco qualquer de raio r e espessura d x é dado por:

d V = π r 2 d x

Agora, precisamos encontrar a relação entre o raio do parabolóide e a coordenada x , chamando y de r temos:

r = b s e n π x 2 a

Passo 2

Então podemos reescrever a equação para o volume diferencial como:

d V = π r 2 d x → d V = π b 2 s e n 2 π x 2 a d x

Então, aplicando a integral dos dois lados dessa expressão, temos:

∫ d V = ∫ π b 2 s e n 2 π x 2 a d x

Resolvendo as integrais, temos:

V = π b 2 ∫ a 2 a s e n 2 π x 2 a d x = π b 2 x 2 - s e n π x a 2 π / a a 2 a

Substituindo os limites de integração:

V = π b 2 2 a 2 - 0 2 π a - a 2 - 0 2 π a

Então, simplificando a expressão, temos o volume para a figura gerada:

V = 1 2 π a b 2

Passo 3

Agora podemos usar a expressão que relaciona o centro de massa em x com o volume do sólido em estudo, lembrando que nesse caso a coordenada x - E L = x :

x - V = ∫ x - E L d V

Então, substituindo o valor de x - E L e d V :

x - V = ∫ a 2 a x π b 2 s e n 2 π x 2 a d x

Para resolver essa integral, vamos precisar usar integração por partes, fazendo:

u = x → d u = d x

d v = s e n 2 π x 2 a d x → v = x 2 - s e n π x a 2 π / a

Reescrevendo a integral, temos:

x - V = x x 2 - s e n π x a 2 π / a a 2 a - ∫ 0 h x 2 - s e n π x a 2 π / a d x

Resolvendo a integral, temos:

x - V = x x 2 - s e n π x a 2 π / a a 2 a - 1 4 x 2 + a 2 2 π 2 cos ⁡ π x a a 2 a

Substituindo os limites de integração, temos:

x - V = 2 a 2 a 2 - a a 2 - 1 4 2 a 2 + a 2 2 π 2 - 1 4 a 2 + a 2 2 π 2

Então, simplificando a expressão e substituindo o valor de V encontrado no passo 2:

x - 1 2 π a b 2 = 0,6487 π a 2 b 2

E, isolando x - da equação, temos:

x - = 1,30 a

Resposta

x - = 1,30 a

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