Determine as coordenadas x e y do centroide da área sombreada.

Primeiro vamos escolher um elemento de área, para assim podermos integrar, com isso:

Pronto! Escolhido o elemento de área vamos integrar ele em relação a x e temos a nossa área. Dessa maneira:

Agora precisamos entrar as funções que corresponde a y:

Note que, a parte mais externa é descrito por um semiciclo de raio a, assim a equação que descreve esse semiciclo é:

Porém a parte mais interna é descrito por uma equação linear, dada por:

Tendo as funções que descreve o nosso problema fica mais fácil de integrar, dessa maneira a área é dada por:

Agora basta resolvermos essa integral que teremos nossa área:

Aplicar integral por substituição: x = .

Lembre-se da identidade:

A área dois é dada por:

Portanto:

Ante de aplicar a equação para achar o centroide na coordenada x, vamos resolver a integral:

Depois é só dividir pela área que teremos o ponto. Dessa maneira,

De modo que, essa integral é mais simples do que a que já resolvemos:

Logo, por substituição temos:

Pronto! Só substituir na equação, se tiver alguma dificuldade na resolução das integrais recomendo que revise o assunto de substituição em cálculo que encontra na própria plataforma. Agora vamos substituir:

Para encontrarmos o centroide em relação a y, teremos que ter um cuidado, o ponto Y na nossa delimitação da área está no meio dos extremos, ou seja,

Com isso, antes de aplicar a equação para achar o centroide na coordenada y, vamos resolver a integral:

Depois é só dividir pela área que teremos o ponto. Note que, de início colocaremos o dA em função de Y:

Logo,

Substituindo a função que descreve a curva teremos:

Simplificando:

Agora substituindo na equação do centroide, temos: