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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 18.Problemas - Ex. 52

Determine a energia cinética perdida quando o canto C da placa do Problema 18.31 bate na obstrução.

Passo 1

Vamos lá resolver mais essa. Vamos utilizar inicialmente o princípio de impulso e quantidade de movimento linear. Para o ponto G, temos:

- m v 0 j → + F c Δ t j → = m v x i → + m v y j → + m v z k →

Para cada componente, temos:

0 = m v x → v x = 0

- m v 0 + F C Δ t = m v y → F C Δ t = m v 0 + v y

0 = m v z → v z = 0

Como o impacto é perfeitamente plástico, v C y = 0 . A velocidade do ponto C é dada por

v → C = v → G + ω → × r → C / G = v y j → + ω x i → + ω y j → + ω z k → × a i → - c k →

v C x i → + v C z k → =   - c ω y i → + v y + c ω x + a ω z j → - a ω y k →

Para a componente j → :

v C + c ω x + a ω z → v y = - c ω x - a ω z

Passo 2

Analisando os momentos em C:

c m v 0 i → + a m v 0 k → = H G x i → + H G y j → + H G z k → + - a i → + c k → × m v y j → = 2 3 m c 2 ω x i → + 2 3 m c 2 + a 2 ω y j → + 2 3 m a 2 ω z k → - m c v y i → - m a v y k →

Para cada componente:

c m v 0 = 1 3 m c 2 ω x - m c v y         ( 1 )

0 = 1 3 m c 2 + a 2 ω y → ω y = 0

a m v 0 = 1 3 m a 2 ω z - m a v y           ( 2 )

Como v y = - c ω x - a ω z , substituindo nas equações 1 e 2:

4 3 c ω x + a ω z = v 0

c ω x + 4 3 a ω z = v 0

Resolvendo o sistema

ω x = 3 7 c v 0

ω z = 3 7 a v 0

Logo

ω → = 3 7 v 0 1 c i → + 1 a k →

A velocidade do centro de massa é:

v y = - c ω x - a ω z = - c 3 7 c v 0 - a 3 7 a v 0 = - 6 7 v 0

v → = - 6 7 v 0 j →

Passo 3

A energia cinética antes do impacto é:

T 0 = 1 2 m v 0 2

Após o impacto temos:

T 1 = 1 2 m v 2 + 1 2 I - x ω x 2 + 1 2 I - y ω y 2 + 1 2 I - z ω z 2

T 1 = 1 2 m 6 7 v 0 2 + 1 2 1 3 m c 2 3 7 c v 0 2 + 0 + 1 2 1 3 m a 2 3 7 a v 0 2 = 3 7 m v 0 2

A energia cinética perdida é:

T 0 - T 1 = 1 14 m v 0 2

Resposta

T 0 - T 1 = 1 14 m v 0 2

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