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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 18.Problemas de Revisão - Ex. 158

O disco fino de massa m = 4 kg gira com uma velocidade angular ω 2 em relação ao braço OA, que por sua vez gira com uma velocidade angular ω 1 em torno do eixo y. Determine (a) o binário M 1   j , que poderia ser aplicado ao braço OA para dar-lhe uma aceleração α 1 = ( 6   r a d / s ² ) j ,   com velocidade ω 1 = 4   r a d / s , sabendo que o discogira a uma taxa constante ω 2 = 12   r a d / s , (b) o sistema força-bináriorepresentando a reação dinâmica em O nesse instante. Considere queo braço OA tem massa desprezível.

Passo 1

E ai gurizada tudo belezinha??? O exercício pede que a gente Determine (a) o binário M 1   j , que poderia ser aplicado ao braço OA para dar-lhe uma aceleração α 1 = ( 6   r a d / s ² ) j ,   com velocidade ω 1 = 4   r a d / s , sabendo que o discogira a uma taxa constante ω 2 = 12   r a d / s , (b) o sistema força-bináriorepresentando a reação dinâmica em O nesse instante. Considere queo braço OA tem massa desprezível.

Velocidade angular do braço AO: Ω = ω 1 j

Velocidade angular do disco: ω = ω 1 j + ω 2 k

Momento angular em torno de seu centro de massa A.

H A = Ī x ω x i + Ī y ω y j + Ī z ω z = Ī y ω 1 j + Ī z ω 2 k = 1 4   m r ² ω 1 j + 1 2 m r ² ω 2 k

Passo 2

Deixe o Oxyz correspondente girar com velocidade angular, Ω = ω 2 j .

H A ˙ = ( H A ˙ ) O x y z + Ω × H A

= 1 4 m r 2 ω ˙ 1 j + 1 2 m r 2 ω 2 k + ω 1 j × H A

= 1 2 m r 2 ω 1 ω 2 i + 1 4 m r 2 ω ˙ 1 j + 1 2 m r 2 ω ˙ 2 k

Velocidade do ponto A: v A = ω 1 j × r A O

= ω 1 j × b i - c j = - b ω 1 k

Passo 3

Considere o sistema de partículas que consiste no braço OA e disco A. Despreze a massa do braço.

∑ F = m a A

R x i + R z k = m b ω 1 2 i -   m b ω ˙ 1 k

R x = -   m b ω 1 2

R z =   m b ω ˙ 1

∑ M O = H ˙ O = H ˙ A + r A / O × m a A

( M O ) x i + ( M O ) y j + ( M O ) z k = m 1 2   r 2 ω 1 ω 2 + b c ω ˙ 1 i + m 1 4 r 2 + b 2 ω ˙ 1 j + m 1 2   r ² ω ˙ 1 - b c ω 1 2 k

Dadas: W = 8   l b

m = 8 32.2 = 0.24845   l b ∙ s 2 / f t

r = 5   i n . = 0.41667   f t

b = 16   i n .   = 1.33333   f t

c = 10   i n .   = 0.83333   f t

ω 1 = 4   r a d / s

ω ˙ 1 = 6   r a d / s ²

ω 2 = 12   r a d / s

ω ˙ 2 = 0

Passo 4

  1. O par necessário são os componentes y do par no ponto O.

( M O ) y = 0.24845 1 4   0.41667 2 + 1.33333 2 6 j

Passo 5

(b)Reação dinâmica no ponto O.

R x = - 0.24845 1.33333 4 2 = - 5.30   l b               R y = 0

R z = - 0.24845 1.33333 ( 6 ) = - 1.988   l b

( M O ) z = 0.24845 0 - ( 1.33333 ) ( 0.83333 ) ( 4 ) ²    

= - 4.42   l b ∙ f t

Resposta

a) ( M O ) y = 2.71   l b ∙ f t j

b) R = - 5.30   l b i - 1.988   l b k

M O = 2.69   l b ∙ f t i - 4.42   l b ∙ f t k

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