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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 18.Problemas - Ex. 54

Determine a energia cinética da sonda espacial do Problema 18.36 em seu movimento em torno do seu centro de massa após sua colisão com o meteorito.

Passo 1

Vamos lá resolver mais essa. A posição do ponto A, no ponto onde o meteorito colido com a sonda espacial é:

r → A = 2,5 i → + 0,2 k →

A quantidade de movimento linear do meteorito é:

m M v → 0 = 0,15 v x i → + v y j → + v z k →

A quantidade de movimento angular do meteorito é:

r A × m M v → 0 = 0,15 i → j → k → 2,5 0 0,2 v x v y v z = 0,15 - 0,2 v y i → + 0,2 v x - 2,5 v z j → + 2,5 v y k →

Como o meteorito tem uma redução de velocidade de 25 %, a quantidade de movimento linear e a quantidade de movimento angular finais são:

0,75 m M v → 0 = 0,1125 v x i → + v y j → + v z k →

r → A × 0,75 m M v → 0 = 0,1125 - 0,2 v y i → + 0,2 v x - 2,5 v z j → + 2,5 v y k →

A quantidade de movimento linear inicial da sonda é igual a zero. Após o impacto temos que:

m S v x ' i → + v y ' j → + v z ' k → = 1500 - 0,016 i → + v y ' j → + v z ' k →

A quantidade de movimento angular da sonda após o impacto é:

H → A = m S k x 2 ω x i → + k y 2 ω y j → + k z 2 ω z k → = 1500 [ 0,4 2 0,05 + 0,45 2 - 0,12 + 0,375 2 ω z k →

H → A = 12 i → - 36,45 j → + 210,94 ω z k →

Passo 2

Agora vamos usar as conservações das quantidades de movimento lineares e angulares para calcularmos as componentes de velocidade e de velocidade angular. Usando a conservação da quantidade de movimento linear:

0,15 v x i → + v y j → + v z k → = 0,1125 v x i → + v y j → + v z k → + 1500 - 0,016 i → + v y ' j → + v z ' k →

Para a componente x temos:

0,0375 v x = - 24 → v x = - 640   m / s

Usando a conservação da quantidade de movimento angular:

0,15 - 0,2 v y i → + 0,2 v x - 2,5 v z j → + 2,5 v y k → = 0,1125 - 0,2 v y i → + 0,2 v x - 2,5 v z j → + 2,5 v y k → + 12 i → - 36,45 j → + 210,94 ω z k →

E resolvendo para as componentes x e z:

- 0,0075 v y = 12 → v y = - 1600   m / s

0,09375 v y = 210,94 ω z → ω z = 0,09375 - 1600 210,94 = - 0,711   r a d / s

Passo 3

A energia cinética da sonda espacial em movimento em torno do centro de massa após a colisão é:

T S = 1 2 I x ω x 2 + I y ω y 2 + I z ω z 2 = m 2 ( k x 2 ω x 2 + k y 2 ω y 2 + k y 2 ω y 2 )

T S = 1500 2 0,4 2 0,05 2 + 0,45 2 - 0,12 2 + 0,375 2 - 0,711 2

T S = 55,80   J

Resposta

T S = 55,80   J

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