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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 18.Problemas - Ex. 46

18.46. Determine a energia cinética transmitida para o cubo do Problema 18.21.

Passo 1

Vamos relembrar o problema 18.21. Um cubo oco feito com alumínio, onde cada face tem 2 × 2   m de comprimento, está soldado numa base fica e pode girar livremente sobre sua diagonal principal A B .

Vamos escolher um sistema de coordenadas de forma que os eixos sempre sejam perpendiculares as faces do cubo, dessa forma vai ser mais fácil para gente.

Passo 2

A simetria do cubo vai ajudar bastante a gente aqui. O cubo tem 6 faces, vamos determinar o momento de inércia de cada uma. Para as faces perpendiculares ao eixo x , temos

I x 1 = 1 6 m a 2

Sendo a o tamanho da lateral do cubo.

E para as faces perpendiculares aos eixos y e z

I x 2 = 1 12 + 1 4 m a 2 = 1 3 m a 2

Então o momento de inercia total é

I x = 2 ⋅ I x 1 + 4 ⋅ I x 2 = 1 3 m a 2 + 4 3 m a 2 = 5 3 m a 2

E como estamos tratando de um cubo no problema, existe uma simetria maravilhosa que nos permite dizer que

I x = I y = I z

Olha só que coisa boa!

E isso vai trazer umas simplificações para a gente, porque isso significa que todos os eixos centroidais são eixos principais.

Passo 3

Se usarmos o princípio de impulso-momento, temos

b F Δ t = H y

Então

b F Δ t = 5 3 m a 2 ω

Ou seja

m = 3 5 b F Δ t ω a 2

Dado a = 2   m , então b = 2 3 2 = 1,633   m . Calculamos b com a dica do problema.

ω = 2 π 5 = 1,2566 r a d s

F = 60   N

E

Δ t = 1,2   s

Então

m = 3 5 ( 1,663 ) ( 60 ) ( 1,2 ) 1,2566 2 2 = 14,3   k g    

Passo 4

Agora que temos a massa basta fazer

T = 1 2 I x ω x 2 + I y ω y 2 + I z ω z 2

Então

T = 1 2 I y ω y 2

Substituindo os valores

T = 1 2 5 3 m a 2 ω 2

T = 1 2 5 3 14,3 2 2 1,2566 2 = 75,27   J

Resposta

T = 75,27   J

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