Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Estática Volume 1 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 4.4 - Ex. 50
Determine a força no elemento da treliça carregada. O raio de curvatura da corda superior vale 30 m.
Passo 1
Vamos calcular as forças pelo método das seções, partindo a treliça em duas e considerando uma parte dela como se fosse um corpo rígido, e então resolvendo as equações de equilíbrio para esse corpo. Temos interesse na barra , então o corte que vamos fazer tem que passar nesse elemento. Vamos então fazer uma linha passando por , e :
Agora temos nossa seção, devemos achar as forças através das equações de equilíbrio.
Passo 2
Temos primeiro que encontrar a força feita pelo apoio em . Pela simetria da treliça e fazendo uma equação de equilíbrio vertical da treliça como um todo, conseguimos achar essa força rapidamente:
Então só temos três forças desconhecidas. Para calcular as forças, está faltando determinar os ângulos e , que vão entrar nas contas.
Passo 3
Pra achar os ângulos e também pra sabermos as distâncias na treliça, precisamos descobrir a coordenada dos pontos , , , e sendo a origem o centro do arco de 30 m ( entre e ). Para os pontos , e que estão no arco, temos:
Achamos facilmente as coordenadas olhando a distância horizontal dos pontos até o ponto entre e . Então:
está 6 m abaixo de e 3 m para a esquerda, então:
e tem a mesma altura de , então:
Passo 4
Agora, através das coordenadas dos pontos, conseguimos saber quem são os ângulos e . Vamos lá:
O ângulo é o ângulo entre a horizontal e
Passo 5
Bom, agora já temos tudo o que precisamos para aplicar as equações do equilíbrio no corpo visando achar . Vamos olhar de novo nosso diagrama de corpo livre:
Olhando a figura, vemos que e tem a linha de ação passando por . Então se fizermos a equação de momento em torno de só aparecerá na conta de incógnita e então resolveremos diretamente. A linha de força de passa por e a altura de em relação a é . Então:
Então achamos :
O sinal negativo indica que a força é de compressão, e não de tração como supomos no desenho.
Passo 6
Agora que já temos , fazendo a equação de equilíbrio vertical a incógnita não aparece, então obtemos direto :
Substituindo os valores dos cossenos e :
Então achamos :
Como o resultado é positivo, a força é de tração, como suposto.