Enunciado

Determine a inclinação e a deflexão em B. EI é constante.

Passo 1

Fala aí pessoal, partiu mais um problema de resmat. Este problema nos pede as inclinações e a deflexão em C. Para encontra-los, vamos utilizar o método dos momentos de área. Primeiro, devemos encontrar as reações nos apoios através da equação de equílibrio.

∑ M A = 0 M - P L = 0 M = P L

∑ F y = 0 → F A = P

Bora lá!

Passo 2

Nesse método, a gente precisa desenhar o diagram do momento. Como no apoio o momento vale M = - P L (de acordo com a conenção de sinais para esforços internos) e na ponta vale M = 0 , podemos marcar esses dois pontos no nosso diagrama.

E repara que nosso carregamento é pontual. Então nosso diagrama vai ser linear, ou seja, podemos ligar esses dois pontos por uma reta e prontinho!

Passo 3

Agora, nós fazemos o diagram M / E I , que é basicamente pegar esse diagrama que a gente fez do momento e dividir a função dele por E I . Já que E I é uma constante, a cara dele continua linear:

Passo 4

Aí vem o pulo do gato, meu amigo! Para determinar a inclinação e B , podemos usar o Teorema 1 do método dos momentos de área. Ele diz que:

θ B - θ A = ∫ A B M E I d x

Mas repara que θ A = 0 , porque isso é um apoio de engaste. E que essa integral aí é a área sob nossa curva do diagrama, que é um triânguo! Então podemos dizer que:

θ B = - 1 2 P L E I ⋅ L = - P L 2 2 E I

Lembrando que a base desse triângulo é L .

Passo 5

E para achar v B ? Cara, aqui a gente usa o teorema 2 do método dos momentos de área. Ele diz que

v B - v A = x - ⋅ ∫ A B M E I d x

Já vimos que essa integral é a área do diagrama M / E I . Podemos lembrar também que v A = 0 , porque estamos no apoio. Falta saber quem é x - .

Cara, ele é o centroide da nossa área desse diagrama aí. Mas atenção: como a gente quer o valor de   v B - v A , precisamos medir o centroide a partir do ponto B , tá bem?

Como a área do diagrama é um triângulo, o centroide vai estar em 2 3 da ponta. Ou seja, em:

x - = 2 3 L

E nossa deflexão fica:

v B = 2 3 L ⋅ - P L 2 2 E I = - P L 3 3 E I

Resposta

θ B = P L 2 2 E I

∆ B = - P L 3 3 E I

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