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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Estática- Ed: 9º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 127

Determine o centróide do sólido obtido pela rotação da área sombreada da figura em torno da linha x = h .

Passo 1

Tá legal, vamos lá! A primeira coisa que devemos notar é que como o sólido vai rotacionar sobre a linha x = h com aquela área, formando um cone, temos que x - = h e z - = 0 . Então, do enunciado, temos que a equação da curva é:

x 2 h 2 + y 2 a 2 = 1

Reescrevendo a equação em função de x temos:

a 2 x 2 + h 2 y 2 = a 2 h 2 → a 2 x 2 = a 2 h 2 - h 2 y 2

x 2 = 1 a 2 h 2 a 2 - y 2 → x = h a a 2 - y 2

Sabemos que o raio irá diminuir com a altura, sendo que, para x = h temos o raio máximo, então, a equação para o raio se torna:

r = h - h a a 2 - y 2

Agora, como já vimos nessa seção do livro, o elemento diferencial de volume de um disco qualquer de raio r e espessura d y é dado por:

d V = π r 2 d y

Passo 2

Agora, precisamos encontrar a relação entre o raio do cone e a coordenada y , substituindo o valor encontrado de r :

d V = π h - h a a 2 - y 2 2 d y = π h 2 - 2 h 2 a a 2 - y 2 + h 2 a 2 a 2 - y 2 d y

E, reescrevendo, temos:

d V = π h 2 a 2 a - a 2 - y 2 2 d y

Então, aplicando a integral dos dois lados dessa expressão, temos:

∫ d V = ∫ π h 2 a 2 a - a 2 - y 2 2 d y

Resolvendo as integrais, temos:

V = ∫ 0 a π h 2 a 2 a - a 2 - y 2 2 d y

Para resolver a integral em y , vamos utilizar o método da substituição, fazendo y = a sen ⁡ θ → d y = a cos ⁡ θ d θ . Então, susbtituindo esses valores na integral, temos:

V = ∫ 0 π / 2 π h 2 a 2 a - a 2 - a 2 sin 2 ⁡ θ 2 a cos ⁡ θ d θ

Reescrevendo a integral:

V = π h 2 a 2 ∫ 0 π / 2 a - a 1 - sin 2 ⁡ θ 2 a cos ⁡ θ d θ

Da relação trigonométrica cos 2 ⁡ x = 1 - sen 2 ⁡ x , substituindo na integral:

V = π h 2 a 2 ∫ 0 π / 2 a - a cos ⁡ θ 2 a cos ⁡ θ d θ = π h 2 a 2 ∫ 0 π / 2 a 2 - 2 a 2 cos ⁡ θ + a 2 cos 2 ⁡ θ 2 a cos ⁡ θ d θ

Reescrevendo a integral, temos:

V = π h 2 a ∫ 0 π / 2 cos ⁡ θ - 2 cos 2 ⁡ θ + cos 3 ⁡ θ d θ

Agora sim, resolvendo a integral em θ :

V = π h 2 a 2 sen ⁡ θ - 2 θ 2 + sen ⁡ 2 θ 4 - 1 3 sen 3 ⁡ θ 0 π / 2

Substituindo os limites de integração:

V = π h 2 a 2 1 - 2 π 2 2 + 0 4 - 1 3 1 3 - 2 0 - 2 0 2 + 0 4 - 1 3 0 3

Então, simplificando a expressão, temos o volume para a figura gerada:

V = 0,0959 π a 2 h

Passo 3

Agora podemos usar a expressão que relaciona o centro de massa em x com o volume do sólido em estudo, lembrando que nesse caso a coordenada y - E L = y :

y - V = ∫ y E L d V

Então, substituindo o valor de y - E L e d V :

y - V = ∫ 0 a y π h 2 a 2 a - a 2 - y 2 2 d y = π h 2 a 2 ∫ 0 a y a 2 - 2 a a 2 - y 2 + a 2 - y 2 d y

E, reescrevendo a integral, temos:

y - V = π h 2 a 2 ∫ 0 a 2 a 2 y - 2 a y a 2 - y 2 - y 3 d y

Resolvendo a integral, temos:

y - V = π h 2 a 2 a 2 y 2 + 2 3 a a 2 - y 2 3 / 2 - 1 4 y 4 0 a

Substituindo os limites de integração, temos:

y - V = π h 2 a 2 a 2 a 2 + 2 3 a a 2 - a 2 3 2 - 1 4 a 4 - a 2 0 2 + 2 3 a a 2 - 0 2 3 2 - 1 4 0 4

Então, simplificando a expressão e substituindo o valor de V encontrado no passo 2:

y - 0,0959 π a 2 h = 1 12 π a 2 h 2

E, isolando y - da equação, temos:

y - = 0,869 a

Resposta

y - = 0,87 a

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