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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia Estática - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 54a

54. Determine a intensidade dos momentos da força F → em relação aos eixos x, y e z. Resolva o problema

(a) usando uma abordagem de vetor cartesiano

Passo 1

Para fornecer o resultado como o enunciado pede precisamos calcular o momento da força F usando o produto vetorial que é dado da seguinte maneira:

M 0 = u a → ⋅ ( r → × F → ) = u a x u a y u a z r x r y r z F x F y F z

Onde:

u a x ,   u a y   e   u a z representam as componentes do vetor unitário definido na direção do eixo de rotação

r x ,   r y   e   r z representam as coordenadas do vetor posição definido a partir de qualquer ponto O sobre o eixo de rotação até qualquer ponto na linha de aplicação da força.

F x ,   F y   e   F z são as componentes da força F aplicada.

Teremos que fazer essa abordagem para cada caso de eixo de rotação. Então vamos resolver cada um separadamente.

Passo 2

Começando com o eixo x como eixo de rotação.

O vetor r → para essa situação pode ser visto na figura abaixo.

Para saber as coordenadas desse vetor, basta olhar a figura e ver quanto você tem que andar para cada direção para chegar ao ponto na linha de ação da força, logo:

r → = { 0 i + 3 j - 2 k }

O vetor unitário que tem a mesma direção que o eixo de rotação que é o eixo x, é dado por:

u → = { 1 i + 0 j + 0 k }

Passo 3

Agora que já temos tudo que precisamos, vamos calcular o momento em relação ao eixo pedido.

M x = u → ⋅ ( r → × F → ) = u x u y u z r x r y r z F x F y F z

= 1 0 0 0 3 - 2 4 12 - 3

= 1 - 3 ⋅ 3 - - 2 ⋅ 12 - 0 - 3 ⋅ 0 - - 2 ⋅ 4 + 0 0 ⋅ 12 - 3 ⋅ 4

= 1 - 9 + 24 - 0 0 + 8 + 0 ( 0 - 12 )

= 1 15 - 0 8 + 0 ( - 12 )

= 15   k N ⋅ m

Passo 4

Agora com o eixo y como eixo de rotação.

O vetor r → para essa situação pode ser visto na figura abaixo.

Para saber as coordenadas desse vetor, basta olhar a figura e ver quanto você tem que andar para cada direção para chegar ao ponto na linha de ação da força, logo:

r → = { 4 i + 0 j - 2 k }

O vetor unitário que tem a mesma direção que o eixo de rotação que é o eixo y, é dado por:

u → = { 0 i + 1 j + 0 k }

Passo 5

Agora que já temos tudo que precisamos, vamos calcular o momento em relação ao eixo pedido.

M y = u → ⋅ ( r → × F → ) = u x u y u z r x r y r z F x F y F z

= 0 1 0 4 0 - 2 4 12 - 3

= 0 - 3 ⋅ 0 - - 2 ⋅ 12 - 1 - 3 ⋅ 4 - - 2 ⋅ 4 + 0 4 ⋅ 12 - 0 ⋅ 4

= 0 0 + 24 - 1 - 12 + 8 + 0 ( 48 - 0 )

= 0 24 - 1 - 4 + 0 ( 48 )

= 4   k N ⋅ m

Passo 6

Agora com o eixo z como eixo de rotação.

O vetor r → para essa situação pode ser visto na figura abaixo.

Para saber as coordenadas desse vetor, basta olhar a figura e ver quanto você tem que andar para cada direção para chegar ao ponto na linha de ação da força, logo:

r → = { 4 i + 3 j - 2 k }

O vetor unitário que tem a mesma direção que o eixo de rotação que é o eixo z, é dado por:

u → = { 0 i + 0 j + 1 k }

Passo 7

Agora que já temos tudo que precisamos, vamos calcular o momento em relação ao eixo pedido.

M z = u → ⋅ ( r → × F → ) = u x u y u z r x r y r z F x F y F z

= 0 0 1 4 3 - 2 4 12 - 3

= 0 - 3 ⋅ 3 - - 2 ⋅ 12 - 0 - 3 ⋅ 4 - - 2 ⋅ 4 + 1 4 ⋅ 12 - 3 ⋅ 4

= 0 - 9 + 24 - 0 - 12 + 8 + 1 ( 48 - 12 )

= 0 15 - 0 - 4 + 1 ( 36 )

= 36   k N ⋅ m

Resposta

A intensidade dos momentos da força F → em relação aos eixos x, y e z são:

M x = 15   k N ⋅ m

M y = 4   k N ⋅ m

M z = 36   k N ⋅ m

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