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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Resistência dos materiais - 7ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 7º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 70

Determine a localização e do centro de cisalhamento (ponto O) para o elemento de paredes finas que tem a seção transversal mostrada na figura. Os segmentos do elemento têm a mesma espessura t .

Passo 1

Observe a distribuição de forças geradas sobre a viga. Elas vão gerar um momento sobre a viga e isso gera uma “torção na viga”

O centro de cisalhamento é o ponto O onde uma força P aplicada, gera um momento equivalente ao das forças internas, anulando a torção.

Pra calcular isso, vamos integrar o fluxo de cisalhamento sobre a viga para determinar as forças internas em função de P . Depois vamos fazer um cálculo de momento equivalente, para determinar a distância e .

Como já conhecemos a força que atua no ponto O (que é o próprio P ), então vamos fazer este cálculo de momentos em relação ao ponto O ' . Dessa forma não vamos precisar calcular a força F 3 .

Passo 2

Começamos calculando o momento de inércia. Observe que podemos calcular o Momento de Inércia das quatro barras cinzas e subtrair o da barra amarela.

I = 2 t ⋅ h 3 12 + 2 b ⋅ t 3 12 + b t ⋅ h 2 2 - t ⋅ h - 2 h 1 3 12

Observe que t é a espessura de uma parede fina. Isso quer dizer que t é muito menor que as outras dimensões. Em outras palavras:

t 2 → 0

t 3 → 0

Com isso podemos simplificar a expressão:

I = 2 t ⋅ h 3 12 + 2 b t ⋅ h 2 2 - t ⋅ h - 2 h 1 3 12

I = t ⋅ h 3 6 + b t h 2 2 - t ⋅ h - 2 h 1 3 12

Chegamos numa expressão para o momento de inércia.

I = t 12 2 h 3 + 6 b h 2 - h - 2 h 1 3

Passo 3

Vamos calcular a força na aba menor:

O momento estático é:

Q 1 = x 1 ⋅ t ⋅ h 2 - h 1 + x 1 2

Q 1   = 1 2 ( x 1 t h - 2 x 1 t h 1 + x 1 2 t )

Observe que para esse momento estático 0 < x 1 < h 1 , pois a aba tem tamanho h 1 !

Para encontrar a força sobre a aba basta integrar o fluxo de cisalhamento:

F 1 = ∫ 0 h 1 q 1 ⋅ d x  

F 1 = ∫ 0 h 1 V Q 1 I ⋅ d x  

A força cortante é igual à força aplicada V = P

F 1 = ∫ 0 h 1 P Q 1 I ⋅ d x  

F 1 = P I ∫ 0 h 1 Q 1 ⋅ d x  

Substituíndo o momento estático

F 1 = P I ∫ 0 b 1 1 2 ( x 1 t h - 2 x 1 t h 1 + x 1 2 t ) ⋅ d x  

Efetuando a integral:

F 1 = P 2 I ⋅ t h x 1 2 2 - 2 t h 1 x 1 2 2 + t x 1 3 3 0 h 1  

F 1 = P t 2 I ⋅ h h 1 2 2 - 2 h 1 h 1 2 2 + h 1 3 3  

F 1 = P t 2 I ⋅ h ⋅ h 1 2 2 - h 1 3 + h 1 3 3  

Chegamos numa expressão para força na aba menor:

F 1 = P t 2 I ⋅ h ⋅ h 1 2 2 - 2 h 1 3 3  

Passo 4

Agora vamos calcular a força sobre a aba maior.

Primeiro, observe o comportamento do momento estático abaixo. Ele será a soma para destacada em verde e a parte destacada em amarelo. Perceba que a parte verde é contante e que a região amarela é variável

Q 2 = h 1 t ⋅ h 2 - h 1 + h 1 2 + x 2 t ⋅ h 2

Q 2 = 1 2 h 1 t ⋅ h - h 1 + x 2 t ⋅ h 2

O momento estático resultante é:

Q 2 = t 2 h 1 h - h 1 2 + x 2 ⋅ h ,     o n d e   0 < x 2 < b

Para encontrar a força sobre essa aba, vamos aplicar a integração sobre o fluxo de cisalhamento:

F 2 = ∫ 0 b q 2 ⋅ d x  

F 2 = ∫ 0 b V Q 2 I ⋅ d x  

A força cortante é igual à força aplicada V = P

F 2 = ∫ 0 b P Q 2 I ⋅ d x  

F 2 = P I ∫ 0 b Q 2 ⋅ d x

Substituíndo o momento estático

F 2 = P I ∫ 0 b t 2 h 1 h - h 1 2 + x 2 ⋅ h ⋅ d x

F 2 = P t 2 I ⋅ h h 1 ⋅ x 2 - h 1 2 ⋅ x 2 + h t ⋅ x 2 2 2 0 b

Chegamos numa expressão para a força.

F 2 = P t 2 I ⋅ h h 1 b - h 1 2 b + h ⋅ b 2 2

Passo 5

Agora vamos imaginar que aplicamos a força P no centro de cisalhamento O , nesse caso, por definição:

E calculamos o momento em O '

∑ M O ' = 0 ⇒ - 2 F 1 ⋅ b - F 2 ⋅ h + P ⋅ e = 0

P ⋅ e = 2 F 1 ⋅ b + F 2 ⋅ h

P e = 2 ⋅ P t 2 I ⋅ h ⋅ h 1 2 2 - 2 h 1 3 3   ⋅ b + P t 2 I ⋅ h h 1 b - h 1 2 b + h ⋅ b 2 2 ⋅ h

Colocando P t / 2 I em evidência:

P e = P t 2 I ⋅ 2 h ⋅ h 1 2 2 - 2 h 1 3 3   ⋅ b + h h 1 b - h 1 2 b + h ⋅ b 2 2 ⋅ h

Cortando P dos dois lados:

e = t 2 I ⋅ 2 h ⋅ h 1 2 2 - 2 h 1 3 3   ⋅ b + h h 1 b - h 1 2 b + h ⋅ b 2 2 ⋅ h

e = t 2 I ⋅ h h 1 2 b - 4 h 1 3 b 3 + h 2 h 1 b - h h 1 2 b + h 2 ⋅ b 2 2

e = t 2 I ⋅ h 2 h 1 b - 4 h 1 3 b 3 + h 2 ⋅ b 2 2

e = t b 1 2 I ⋅ 6 h 2 h 1 + 3 h 2 b - 8 h 1 3

Agora substituímos o valor do momento de inércia:

e = t b 12 ⋅ t 12 2 h 3 + 6 b h 2 - h - 2 h 1 3 ⋅ 6 h 2 h 1 + 3 h 2 b - 8 h 1 3

Simplificando:

e = b ( 6 h 2 h 1 + 3 h 2 b - 8 h 1 3 ) 2 h 3 + 6 b h 2 - h - 2 h 1 3

Resposta

e = b ( 6 h 2 h 1 + 3 h 2 b - 8 h 1 3 ) 2 h 3 + 6 b h 2 - h - 2 h 1 3

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