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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia Estática - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 41

Determine a massa e a localização do centro de massa y - do hemisfério formado girando-se a área sombreada em torno do eixo y . A densidade em qualquer ponto no hemisfério pode ser definida por ρ = ρ 0 1 + y a , onde ρ 0 é uma constante.

Passo 1

Aqui é como a gente já tá acostumado! Pegamos um disquinho pequeno, paralelo à base, pra analisar! Vamos começar vendo a massa dele:

d m = ρ d V = ρ π z 2 d y

O z a gente consegue relacionar com o y , e essa densidade ele deu no enunciado!

d m = ρ 0 π 1 + y a a 2 - y 2 d y

Fazendo a distributiva:

d m = ρ 0 π a 2 - y 2 + a y - y 3 a d y

Passo 2

Agora a gente usa a fórmula da posição do centroide!

y - = ∫ y - d m ∫ d m

y - = ∫ 0 a y ρ 0 π a 2 - y 2 + a y - y 3 a d y ∫ 0 a ρ 0 π a 2 - y 2 + a y - y 3 a d y

Cortando os termos constantes e fazendo a distributiva do y no numerador:

y - = ∫ 0 a a 2 y - y 3 + a y 2 - y 4 a d y ∫ 0 a a 2 - y 2 + a y - y 3 a d y  

Passo 3

Resolvendo a integral:

y - = a 2 y 2 2 - y 4 4 + a y 3 3 - y 5 5 a 0 a a 2 y - y 3 3 + a y 2 2 - y 4 a 0 a

Substituindo os limites de integração:

y - = a 4 2 - a 4 4 + a 4 3 - a 5 5 a a 3 - a 3 3 + a 3 2 - a 4 a

y - = 23 55 a

Resposta

y - = 23 55 a

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