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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia Estática - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 38

Localize o centroide z - do frustum sólido homogêneo do paraboloide formada girando-se a área sombreada em torno do eixo z .

Passo 1

Vem tranquilo! A idéia é sempre bem parecida. O centro de massa desse sólido está sobre o eixo z , pela simetria! Primeiro vamos calcular o volume de cada disquinho de massa paralelo à base:

d V = π y 2 d z

Na figura ele dá pra gente uma relação entre z e y :

z = h a 2 a 2 - y 2

a 2 - y 2 = z a 2 h

y 2 = a 2 - z a 2 h

Substituindo isso ali em cima:

d V = π a 2 - z a 2 h d z

Passo 2

Beleza! Agora a gente joga direto na fórmula da posição do centroide!

z - = ∫ z - d V ∫ d V

z - = ∫ z π a 2 - z a 2 h d z ∫ π a 2 - z a 2 h d z

Aí a gente dá uma ajeitada pra poder mandar pro gol!

z - = ∫ 0 h 2 a 2 z - z 2 a 2 h d z ∫ 0 h 2 a 2 - z a 2 h d z

Passo 3

Ai a gente integra e substitui os limites de integração.

z - = a 2 z 2 2 - z 3 a 2 3 h 0 h 2 a 2 z - z 2 a 2 2 h 0 h 2

z - = a 2 h 2 2 2 - h 2 3 a 2 3 h a 2 h 2 - a 2 2 h h 2 2

Simplificando essa brincadeira aí, a gente vai encontrar:

z - = 2 h 9

Resposta

z - = 2 h 9

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5.32. Locate the centroid of the shaded area between the ellipse and the circle.
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5.61. Determine the coordinates of the center of mass of the bracket, which is made from a plate of uniform thickness.
5.56. Determine the y-coordinate of the centroid of the shaded area.
5.55. Determine the x- and y-coordinates of the centroid of the shaded area.