Enunciado

Determine a menor área admissível para a seção transversal da barra D E da treliça mostrada se para o carregamento dado, a tensão normal nesta barra não deve ultrapassar 200   M P a .

Passo 1

O problema a pede a menor área admissível, que pode ser calculada a partir da tensão ( 200   M P a ) e da força atuante na barra. Aqui a dificuldade deste problema se encontra em achar a força atuante na barra D E . Então vamos fazer isso pelo métodos dos nós.

A sequência que iremos fazer será a seguinte:

  • Achar as tensões de E G e G C .
  • Analisar o nó C para achar a tensão C E .
  • Analsar o nó E para achar a tensão D E .

Passo 2

Vamos achar as tensões E G e G C

Como o apoio do ponto G é um apoio que permite deslocamento no eixo x então não pode haver forças neste eixo, portanto a tensão em E G é igual a zero.

A partir daí podemos aplicar o momento em relação ao ponto F e vamos ter:

∑ M F = 0

200 ⋅ 2,5 + 75 ⋅ 8 - 10 ⋅ F C G = 0

F C G = 1100 10 = 110   k N

Passo 3

Analisar o nó C

Para fazer a análise corretamente temos de descobri os ângulos α e β

s e n α = 5 5 2 + 2 2 = 0,93

c o s α = 2 5 2 + 2 2 = 0,37

s e n β = 2 , 5 2 , 5 2 + 3 2 = 0,64

c o s β = 3 2,5 2 + 3 2 = 0,77

Agora podemos aplicar o somatório das forças em x e em y

∑ F y = 0

F A C ⋅ cos ⁡ α + 110 - F C E ⋅ cos ⁡ β = 0

0,37 ⋅ F A C - 0,77 ⋅ F C E = - 110

∑ F x = 0

F A C ⋅ s e n α + F C E ⋅ s e n β = 75

0,93 ⋅   F A C + 0,64 ⋅ F C E = 75

Resolvendo as equações:

0,37 ⋅ F A C - 0,77 ⋅ F C E = - 110

0,93 ⋅   F A C + 0,64 ⋅ F C E = 75

Vamos dividir a primeira equação por 0,77 e multiplicar por 0,64 em seguida:

0,31 ⋅ F A C - 0,64 ⋅ F C E = - 91,43

Somando com a segunda

0,93 ⋅   F A C + 0,64 ⋅ F C E = 75

obtemos:

1,3 ⋅ F A C = - 16,43

F A C = - 16,43 1,3 = - 12,64   k N

Substituindo na equação para achar F C E

0,93 ⋅ - 12,64 + 0,64 ⋅ F C E = 75

F C E = 75 + 11,76 0,64 = 135,55   k N

Passo 4

Agora vamos analisar o nó E

Como já vimos a tensão em E G é igual a zero, portanto foi desconsiderada.

Agora temos que achar o ângulo γ que será:

s e n γ = 2,5 2,5 2 + 5 2 = 0,45

c o s γ = 5 2,5 2 + 5 2 = 0,8 5

Agora podemos aplicar as equações de equilíbrio:

∑ F y = 0

F A E ⋅ cos ⁡ γ = - F C E ⋅ ( cos ⁡ ( β ) )

F A E ⋅ 0,85 = - 135 ⋅ 0,77

F A E = - 122,3   k N

∑ F x = 0

- F D E + F C E ⋅ s e n β + 122,3 ⋅ s e n γ = 0

F D E = 135,55 ⋅ 0,64 + 122,3 ⋅ 0,45

F D E = 141   k N

Passo 5

Aplicando a equação da tensão

σ = F / A

200 = 141000 A

A = 141000 200

A = 705   m m ²

Resposta

A = 705   m m ²

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