Enunciado

Três pranchas de madeira são unidas por uma série de parafusos, formando uma coluna. O diâmetro de cada parafuso é de 12 mm, e o diâmetro interno de cada arruela é de 15 mm, que é ligeiramente maior que os furos das pranchas. Sabendo-se que o diâmetro externo de cada arruela é de d = 30 m m , e que a tensão de esmagamento média entre as arruelas e as pranchas não deve exceder a 5   M P a , determine a máxima tensão normal admissível em cada parafuso.

Passo 1

Neste exercício o parafuso é utilizado para fixar as três pranchas por meio de uma força axial, vamos chamar essa força de F e é demonstrada na figura abaixo:

Essa força axial F sujeita a arruela, as pranchas e o parafuso à uma tensão normal σ . Apesar da forças ser a mesma para todos os componentes, a tensão normal é diferente pois as áreas são distintas. Lembre-se que:

σ = P A

O problema pede a tensão máxima admissível no parafuso e nos fornece o dado de que a tensão de esmagamento das arruelas σ e não deve ultrapassar 5   M P a .

Então vamos resolver o problema da seguinte forma: A partir do limite da tensão de esmagamento (em conjunto com a área da arruela) vamos descobrir a força F . Com a força F e a área do parafuso vamos achar a tensão máxima σ que o problema pede. Então vamos lá!

Passo 2

Vamos descobrir a força F que faz uma tensão de esmagamento de 5   M P a na arruela.

σ e = F A a r r u e l a

Então vamos achar a área da arruela, como mostrada abaixo:

A área vai ser dada pela área do círculo maior menos a área do círculo menor.

A a r r u e l a = π ⋅ D e x t 2 4 - π ⋅ D i n t 2 4

A a r r u e l a = π 4 ⋅ ( D e x t 2 - D i n t 2 )

A a r r u e l a = π 4 ⋅ ( 30 2 - 15 2 )

A a r r u e l a = π 4 ⋅ ( 900 - 225 )

A a r r u e l a = π 4 ⋅ 675 = 530,14 376   m m ²

Agora vamos substituir na equação da tensão de esmagamento

σ e = F A a r r u e l a

5 = F 530,14 376

F = 530,14 ⋅ 5 = 2650,7188   N

Passo 3

Com a força F o problema fica mole mole. Para achar a tensão normal no parafuso basta substituir em

σ = P A

σ = F A p a r a f u s o

Calculando a área do parafuso

A p a r a f u s o = π ⋅ D ² 4

A p a r a f u s o = π ⋅ 12 2 4

A p a r a f u s o = π ⋅ 144 4 = 113,09734   m m ²

A p a r a f u s o ≅ 113.10   m m 2

Logo,

σ = 2650,7188 113,10 = 23,43695   M P a

σ ≅ 23,44   M P a

Resposta

σ = 23,44   M P a

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