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Enunciado

Física - Hibbeler - Estática- Ed: 14º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 15

Determine o momento de inércia da área sombreada em relação ao eixo y .

Passo 1

E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!

Esta é uma questão bem direta! Precisamos calcular o momento de inércia da área em relação ao eixo y . Por definição, este momento é dado por:

I y = ∫ A x 2 d A

Então, basta resolvermos esta integral!

Como a nossa área é um pedaço de um círculo, fica muito mais fácil se utilizarmos coordenadas polares para resolvermos esta integral.

Então, se fizermos x = r cos ⁡ θ , y = r sen ⁡ θ , 0 ≤ r ≤ r 0 e - α 2 ≤ θ ≤ α 2 , teremos a seguinte integral:

I y = ∫ - α 2 α 2 ∫ 0 r 0 r cos ⁡ θ 2 r d r d θ

I y = ∫ - α 2 α 2 ∫ 0 r 0 r 3 cos 2 ⁡ θ d r d θ

Então, vamos as contas!

Passo 2

Agora nosso trabalho é braçal. Precisamos desenvolver a integral do Passo 1. Portanto,

I y = ∫ - α 2 α 2 ∫ 0 r 0 r 3 cos 2 ⁡ θ d r d θ

I y = ∫ - α 2 α 2 cos 2 ⁡ θ r 4 4 0 r 0 d θ

I y = r 0 4 4 ∫ - α 2 α 2 cos 2 ⁡ θ d θ

I y = r 0 4 4 sen ⁡ 2 θ 4 + θ 2 - α 2 α 2

I y = r 0 4 4 sen ⁡ α 4 + α 4 - sen ⁡ - α 4 - α 4

I y = r 0 4 4 sen ⁡ α 4 + α 4 - sen ⁡ - α 4 - α 4

I y = r 0 4 sen ⁡ α + α 8

E assim finalizamos a questão!

Resposta

I y = r 0 4 sen ⁡ α + α 8

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