Enunciado

Determine e plote, para qualquer ângulo θ entre pouco acima de zero e 45 ° , a razão T / m g entre as forças trativas necessária para manter em equilíbrio a barra esbelta. A barra A B de massa m é uniforme.

Passo 1

Vamos começar desenhando as forças que agem sobre a barra:

E agora podemos montar algumas equações de equilíbrio. Começando com as forças na direção vertical:

∑ F y = N A cos ⁡ 15 ° + N B sen ⁡ 30 ° + T cos ⁡ 30 ° - m g = 0

∑ F x = - N A sen ⁡ 15 ° - N B cos ⁡ 30 ° + T sen ⁡ 30 ° = 0

Passo 2

Agora vamos escrever a equação de equilíbrio em relação ao ponto B . Nesse caso a componente da força N A que é perpendicular à barra é N A cos ⁡ θ , e N A está a uma distância L (o comprimento da barra) do ponto B .

E fazendo a mesma coisa para a força P , ficamos com a seguinte expressão para o momento:

∑ M B = 0

∑ M B = m g L 2 cos ⁡ θ + 15 ° - N A cos ⁡ θ L = 0

m g 2 cos ⁡ θ + 15 ° - N A cos ⁡ θ = 0

E agora vamos organizar essas equações em um sistema para encontrar uma expressão para T :

N A cos ⁡ 15 ° + N B sen ⁡ 30 ° + T cos ⁡ 30 ° - m g = 0 - N A sen ⁡ 15 ° - N B cos ⁡ 30 ° + T sen ⁡ 30 ° = 0 m g 2 cos ⁡ θ + 15 ° - N A cos ⁡ θ = 0

Queremos escrever θ apenas em função de m g e θ .

Passo 3

Multiplicando a primeira equação por cos ⁡ 30 ° :

N A cos ⁡ 15 ° cos ⁡ 30 ° + N B sen ⁡ 30 ° cos ⁡ 30 ° + T cos 2 ⁡ 30 ° - m g cos ⁡ 30 ° = 0

E multiplicando a segunda equação por sen ⁡ 30 ° :

- N A sen ⁡ 15 °   sen ⁡ 30 ° - N B cos ⁡ 30 ° sen ⁡ 30 ° + T sen 2 ⁡ 30 ° = 0

Agora podemos somar as duas equações para obter um resultado bem mais simples:

N A cos ⁡ 15 ° cos ⁡ 30 ° - sen ⁡ 15 ° sen ⁡ 30 ° + T - m g cos ⁡ 30 ° = 0

E o termo em parênteses é a fórmula para cos ⁡ ( a + b ) :

N A cos ⁡ 45 ° + T - 3 2   m g = 0

Pela terceira equação temos:

N A = m g 2 cos ⁡ ( θ + 15 ° ) cos ⁡ ( θ )

Substituindo isso na equação anterior:

m g 2 cos ⁡ ( θ + 15 ° ) cos ⁡ θ 2 2 + T - 3 2 m g = 0

E isolando T / m g :

T m g =   3 2 - 2 cos ⁡ θ + 15 ° 4 cos ⁡ ( θ )

Passo 4

Agora é só fazer o gráfico de T / m g para 0 < θ ≤ 45 ° :

Onde o eixo y é T / m g e o eixo x é θ em graus.

Resposta

A função é T m g =   3 2 - 2 cos ⁡ θ + 15 ° 4 cos ⁡ ( θ ) .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine as reações no pino A e a tração no cabo B C . Considere F = 40k N . Desconsidere a espessura da viga.
Uma tira de metal rígida, com peso desprezível, é usada como parte da chave eletromagnética. Se a rigidez das molas em A e B for k = 5N / m e a tira estiver originalmente horizontal quando as molas es
Determine a distância d para a posição da carga P para que haja equilíbrio da haste lisa na posição θ , como mostra a figura. Desconsidere o peso da haste.
A haste suporta um cilindro com massa de 50k g e tem um pino em sua extremidade A . Se ela estiver sujeita a um momento de binário de 600N ⋅ m , determine o ângulo θ para que haja equilíbrio. A mola t
A viga está sujeita às duas cargas concentradas. Supondo que o alicerce exerça uma distribuição de carga linearmente variável em sua base, determine as intensidades de carga w1 e w2 para que haja equi