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Enunciado

Física - Hibbeler - Estática- Ed: 14º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 55

Determine o produto de inércia do área sombreada em relação aos eixos x e y .

Passo 1

Oi tudo bem? Vamos resolver este exercício.

Temos que determinar o valor de y - que é o centroide com relação ao eixo y e que localiza o eixo x ' e depois calcular o momento de inércia da viga com relação a esse eixo.

Como resolver problemas de momento de inércia de um elemento com geometria não simétrica?

Bem... Um modo bem prático é dividir o elemento em partes, calcular o momento de inércia de cada parte com relação ao eixo e somar os resultados.

Aqui, podemos dividir a área da seção transversal do elemento da seguinte maneira:

É importante separar as partes, sabendo os seus respectivos centroides.

Vamos aos cálculos!

Passo 2

Para o cálculo de y - , temos que:

y - = ∑ y - i A i ∑ A i

Ficou confuso com a fórmula? Vem comigo então!

Esta equação indica que o valor de y - é dado pela soma do produto entre o centroide e a área de cada elemento dividido pela soma das áreas de cada elemento.

Como dividimos a viga em dois elementos, temos que:

y - = y - 1 A 1 + y - 2 A 2 + y - 3 A 3 A 1 + A 2 + A 3

Agora é só substituir os valores e calcular:

y - = 15 170 ⋅ 30 + 100 30 ⋅ 2 0 0 + 185 70 ⋅ 30 170 ⋅ 3 0 + 3 0 ⋅ 250

y - = 5687500 27500

y - = 206,82   m m

Passo 3

Agora vamos calcular o valor do momento de inércia da viga com relação ao eixo x ' .

Sabendo que para elementos retangulares, temos que:

I x = b h 3 12 + A d 2

Onde b representa o comprimento da base do elemento, h representa o comprimento da altura do elemento, A representa o valor da área do elemento e d a distância do centroide do elemento até o eixo a ser medido.

Para o elemento 1 , temos que:

I x ' 1 = 300 ⋅ 50 3 12 + 300 ⋅ 50 ⋅ 250 + 50 2 - 206,82 2

I x ' 1 = 7,2856 ⋅ 10 7   m m 4

Para o elemento 2 , temos que:

I x ' 2 = 50 ⋅ 250 3 12 + 50 ⋅ 250 ⋅ 206,82 - 250 2 2

I x ' 2 = 14,878 ⋅ 10 7   m m 4

Portanto:

I x ' = I x ' 1 + I x ' 2

I x = 7,2856 ⋅ 10 7 + 14,878 ⋅ 10 7

I x ' = 221,636 ⋅ 10 6   m m 4

Resposta

I x ' = 221,636 ⋅ 10 6   m m 4

I y = 91,26 ⋅ 10 6   m m 4

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