Enunciado

Determine as reações nos apoios de mancal A , B e C do eixo; a seguir, trace os diagramas de força cortante e momento fletor. E I é constante. Cada mancal exerce somente reações verticais sobre o eixo.

Passo 1

Fala aí pessoal, partiu mais um problema de resmat. Este problema pede as reações de apoio e os diagramas. A dificuldade está em encontrar as reações de apoio, pois é uma estrutura hiperestática.

Como a gente tem três reações e só duas equações de equilíbrio para direção vertical, vamos começar substituindo um desses mancais por uma força. Aí teremos uma viga estaticamente equivalente.

Vamos fazer isso em B , porque está no meio da viga, vai ajudar nas próximas continhas. Nossa viga nova fica assim:

Aí a gente usa o conceito de linhas elásticas para achar mais uma equação com essas icógnitas. Por que? Cara, nesse ponto B , na real, tem um apoio, isso quer dizer que a deflexão é zero nele:

v B = 0

Então a gente pode achar a expressão dessa deflexão e igualar a zero. Pronto, três equações e três icógnitas.

Bora seguir!

Passo 2

Agora vamos utilizar as equações de equilíbrio e momento para determinarmos as reações em função de B y :

∑ M A = 0 - 400 × 1 + 2 B y - 400 × 3 + 4 C y = 0 C y = 400 - 0,5 B y

∑ F y = 0 A y + B y + C y - 800 = 0 A y = 800 - B y - C y

Passo 3

Vamos achar a deflexão em B . Podemos usar o método da superposição. Aí a gente usa o apêndice C para achar as fórmulinhas. Vamos separar nossa viga nessas situações:

A fórmula para deflexão em x para segunda viga (biapoiada com uma força concentrada P ) é:

v B ' = - P B x 6 E I L L 2 - B 2 - x 2

Onde B é a distância da força até a extremidade mais próxima. E P é a força. L o comprimento total da viga.

Queremos o valor no meio da viga. Em x = 2 . Por simetria, esse valor vai ser o mesmo para a terceira viga.

v B ' ' ' = v B ' = - 400 × 1 × 2 6 E I x 4 4 2 - 1 2 - 2 2 v B ' ' ' = v B ' = - 366,667 E I N . m 3

Para o primeiro caso (viga biapoiada com carga P no meio), a fórmula de deflexão no meio é:

v B ' ' = P L 3 48 E I = B y 4 3 48 E I

v B ' ' = 1,333 B y E I m 3

Pelo principio da superposição:

2 v B ' + v B ' ' = v b

Passo 4

Essa deflexão precisa zerar porque na real nesse ponto há um apoio:

2 v B ' + v B ' ' = 0 2 - 366,667 E I + 1,333 B y E I = 0 B y = 550 N

Substituindo nas equações obtidas anteriormente pelo equilíbrio, encontraremos as reações nos apoios restantes: C y = 400 - 0,5 B y C y = 400 - 0,5 × 550 C y = 125   N

A y = 800 - B y - C y A y = 800 - 550 - 125 A y = 125   N

Passo 5

Agora, temos que esboçar os diagramas de força cortante e momento fletor. Para isso, temos:

Como só temos forças pontuais, desenhamos o diagrama do cortante seguindo a direção das forças. Em A subimos A y , ficamos constantes até o primeiro 400   N .

Nele descemos 400   N e ficamos constantes até B y , onde a gente sobe o valor dessa força e fica constante até o segundo 400   N . Aí voltamos a descer esse valor e ficamos constantes até C y onde a gente sobe o valor dessa força. Ficamos assim:

E para o momento a gente calcula os momentos em cada ponto onde há força, e liga esses pontos por retas. Fica assim:

Resposta

A y = 125   N

B y = 550 N

C y = 125   N

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