Enunciado

Determine a variação na altura d de uma em balanço que suporta uma força concentrada P em extremidade, de modo que ela tenha uma tensão de flexão máxima constante σ a d m em todo o seu comprimento. A viga tem largura constante b 0

Passo 1

Para resolver a questão precisamos aplicar a equação da flexão. Porém, o momento e a geometria mudam com a distância. Então faremos o seguinte procedimento:

  • Encontramos uma equação para o momento fletor M ( x )
  • Encontramos uma equação para o momento de inércia   I ( x )
  • Aplicamos a equação da flexão σ x = M x ⋅ c ( x ) I ( x )
  • Encontramos o valor da tensão em um ponto conhecido, neste caso, o engaste
  • Determinamos a função para o raio

Passo 2

Vamos fazer uma seção em um ponto da viga e calcular uma equação de momento fletor. Perceba que nesse caso não é preciso calcular as reações de apoio.

∑ M = 0 ⇒ P x + M x = 0

M x = - P x

Passo 3

Vamos calcular as propriedades geométricas:

c x = d x 2

I ( x ) = b 0 ⋅ d x 3 12

Passo 4

Vamos aplicar na fórmula da flexão

σ x = M x c x I x

σ x = P x ⋅ d x 2 b 0 ⋅ d x 3 12

σ x = 6 P x b 0 ⋅ d x 2

Passo 5

Sabemos que a tensão é constante em qualquer ponto da viga. Mas qual o valor desta tensão? Bem, o único ponto em que podemos calcular isso é o engaste, já que é o único ponto em que conhecemos todas as propriedades.

No engaste: x = L e d L = d 0

σ x = 6 P ⋅ L b 0 ⋅ d L 2

σ x = 6 P ⋅ L b 0 ⋅ d 0 2

Passo 6

Vamos igualar agora o valor da tensão com a equação da tensão:

σ x ⇒ 6 P x b 0 ⋅ d x 2 = 6 P ⋅ L b 0 ⋅ d 0 2

x d x 2 = L d 0 2

Isolando o d ( x )

d x = d 0 ⋅ x L 1 / 2

Resposta

d x = d 0 ⋅ x 2 L 2 1 / 2

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