Enunciado

O diagrama carga-deformação mostrado foi desenhado a partir dos dados obtidos durante um ensaio de tração de um corpo de prova de uma liga de alumínio. Sabendo-se que a área da seção transversal do C D P era 600   m m 2 , e que a deformação foi tomada usando um comprimento de medição igual a 400   m m , determinar por meio aproximado:

  1. o módulo de resiliência da liga;
  2. o módulo de tenacidade da liga.

Passo 1

Oi oi, meus queridos! Ralando muito? Bora fazer um exercício de método de energia?

O exercício quer que a gente calcule o valor módulo de resliliência u e e do módulo de tenacidade de uma liga de alumínio. O módulo de resiliência u e de qualquer material é igual à área embaixo da reta O Y de um diagrama tensão-deformação σ - ε . Já o módulo de tenacidade é toda a área sob a curva do diagrama tensão-deformação σ - ε .

σ e é a tensão de escoamento do material. ε f é a maior taxa deformação do corpo de prova (esse corpo também é chamado de C D P ). ε e é a taxa de deformação a partir da qual o material começa a escoar. σ f é a tensão que causa a maior taxa de deformação ε f .

u e e o módulo de tenacidade são essas áreas do diagrama tensão-deformação.

Mas então como calcularemos eles dois, se o enunciado da questão só nos deu o diagrama carga-deformação?

Refazendo a pergunta: nós temos um diagrama com a força (também chamada de carga P ) sobre o C D P e a deformação δ , mas queremos calcular a tensão σ sobre o C D P e a sua taxa de deformação ε . Como fazemos isso?

Através das fórmulas abaixo!

L é o comprimento do corpo de prova C D P que vale 400   m m segundo o enunciado.

A é a área da seção transversal do corpo de prova C D P que vale 600   m m 2 .

A carga P pode ser encontrada através do diagrama carga-deformação do enunciado!

Então bora calcular as tensões σ e as taxas de deformação ε no próximo passo.

Passo 2

Nesse passo, vamos calcular as tensões σ e as taxas de deformação ε necessárias para a gente achar u e e o módulo de tenacidade.

Para encontrarmos os valores de carga P e deformação δ que precisamos, precisamos olhar o gráfico de carga-deformação.

δ e é a deformação do corpo, quando ele começa a escoar. δ f é a maior deformação do corpo. P e é a carga que faz o corpo começar a escoar. P f é a carga que faz o corpo ter a maior deformação.

Pra converter essas cargas P e e P f e essas deformações δ e e δ f , usamos as fórmulas de σ e ε .

Quando usamos a carga em k N e a área em m m 2 , achamos as tensões em G P a .

σ = P A       ⟹       σ e = P e A       ⟹       σ e = 300 600       ⟹       σ e = 0,5   G P a       ⟹       σ e = 500   M P a

σ = P A       ⟹       σ f = P f A       ⟹       σ f = 360 600       ⟹       σ f = 0,6   G P a       ⟹       σ f = 600   M P a

ε = δ L       ⟹       ε e = δ e L       ⟹       ε e = 2,8 400       ⟹       ε e = 0,007

ε = δ L       ⟹       ε f = δ f L       ⟹       ε f = 50 400       ⟹       ε e = 0,125

Com esses valores de σ e e ε e poderemos enfim calcular o módulo de resiliência u e no passo seguinte!

Passo 3

Nesse passo, resolveremos a letra (a)! Para calcular u e , precisamos saber quanto vale a tensão de escoamento σ e da liga, porque σ e é a altura h do triângulo que forma a área sob a reta O Y ! A base desse triângulo é igual a ε e = 0,007 .

A figura abaixo mostra a área exagerada do triângulo que fica abaixo de O Y .

Antes de utilizar σ e , temos que converter essa tensão de M P a para P a , multiplicando a tensão por 10 6 .

σ e = 500   M P a = 500 ⋅ 10 6   P a

Substituindo esses valores na fórmula de u e presente no gráfico, achamos:

u e = ε e ⋅ σ e 2       ⟹       u e = 0,007 ⋅ 500 ⋅ 10 6 2       ⟹       u e = 1,75 ⋅ 10 6   J m 3

Podemos converter esse resultado de J / m 3 para M J / m 3 , dividindo u e por 10 6 .

u e = 1,75   M J m 3

Aeee! Achamos a resposta da letra (a)! No próximo passo a gente pode calcular o módulo de tenacidade.

Passo 4

Nesse passo, resolveremos a letra (b) da questão!

O módulo de tenacidade é toda a área sob a curva do diagrama tensão-deformação. Ou seja, para achar esse valor, temos que achar a área A 1 do trapézio. A fórmula da área do trapézio é base maior B mais base menor b , vezes altura do trapézio h dividido por 2 .

A 1 = B 1 + b 1 ⋅ h 1 2

No caso do trapézio, a altura h não são valores de tensão σ , mas sim diferenças entre valores de deformação Δ ε . As tensões σ são as bases B e b . Esses valores de tensão que representam as bases B e b do trapézio são aproximações encontradas através da visualização do gráfico.

Isso fica mais claro olhando para a figura abaixo.

Antes de utilizar as informações da figura, temos que converter a tensão σ 1 de M P a para P a , multiplicando a tensão por 10 6 .

σ 1 = 600   M P a = 600 ⋅ 10 6   P a

Agora sim, usando as informações presentes na figura, achamos:

A 1 = σ e + σ 1 ⋅ Δ ε 1 2       ⟹       A 1 = 500 + 600 ⋅ 10 6 ⋅ 0,118 2       ⟹       A 1 = 64,9 ⋅ 10 6   J m 3

Cuidado! O valor de u e que devemos colocar na fórmula do módulo de tenacidade deve estar em J / m 3 !

Como o módulo de tenacidade é a soma de todas as áreas, encontramos:

m ó d u l o   d e   t e n a c i d a d e = u e + A 1

m ó d u l o   d e   t e n a c i d a d e = 1,75 ⋅ 10 6 + 64,9 ⋅ 10 6

m ó d u l o   d e   t e n a c i d a d e ≈ 66 ⋅ 10 6   J m 3

Resposta

a   u e = 1,75   M J m 3

b   m ó d u l o   d e   t e n a c i d a d e = 66 ⋅ 10 6   J m 3

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