Enunciado

O disco com a caneleta circular gira em torno do eixo vertical com uma rotação constante de 30   r p m e suporta duas esferas de 4   k g . Calcule a maior das duas forças de contato entre o disco e cada esfera. (Este resultado pode ser obtido usando apenas uma equação de força?)

Passo 1

Primeiro precisamos entender o seguinte: existem duas forças de contato agindo sobre cada esfera, uma para cada “lado” da vala onde as esferas estão presas. Vamos dar nome a essas forças:

E o que a gente tem que exigir dessas forças para que o sistema esteja em equilíbrio? Na vertical elas precisam anular a força peso, e na horizontal elas precisam fazer o papel de força centrífuga.

As componentes verticais dessas duas forças são:

∑ F y = F 1 cos ⁡ 30 ° + F 2 cos ⁡ 30 ° = F 1 + F 2 cos ⁡ 30 °

E as horizontais são:

∑ F x = F 1 - F 2 sen ⁡ 30 °

Passo 2

E agora vamos impor as condições que mencionamos ali em cima. As forças verticais tem que compensar o peso:

∑ F y = m g

F 1 + F 2 cos ⁡ 30 ° = ( 4 ) ( 9,81 )

E as forças horizontais tem que fazer o papel da força centrípeta:

ω = 30   r p m     2 π 60 = π   r a d / s

∑ F x = m r ω 2

F 1 - F 2 sen ⁡ 30 ° = 4 0,25 π 2

Pronto, agora ficamos com um sistema de duas variáveis e duas equações, é só resolver!

Passo 3

O sistema é:

F 1 - F 2 sen ⁡ 30 ° = 4 0,25 π 2 F 1 + F 2 cos ⁡ 30 ° = ( 4 ) ( 9,81 )

E então:

F 1 - F 2 = 4 0,25 π 2 sen ⁡ 30 ° ≅ 19,74 F 1 + F 2 = 4 9,81 cos ⁡ 30 ° ≅ 45,31

Somando as duas equações:

2 F 1 = 65,05         ⇒       F 1 = 32,52   N

E subtraindo a primeira da segunda:

2 F 2 = 25,57       ⇒         F 2 = 12,78   N

Ou seja, a maior das duas forças de contato é F 1 = 32,52   N .

Passo 4

Será que podemos obter esse resultado usando apenas uma equação de força? Bom, nesse caso precisaríamos aplicar a segunda lei de Newton de forma que apenas a força F 1 (que é quem queremos calcular) aparecesse.

Podemos conseguir isso se aplicarmos a segunda lei em uma direção perpendicular à força F 2 ! Veja no desenho:

E como no fim das contas a única força resultante atuando sobre a esfera é a força centrípeta, podemos aplicar a lei de Newton naquela direção s para achar a seguinte equação:

F 1 cos ⁡ 30 ° - m g sen ⁡ 30 ° = F C cos ⁡ 30 °

F 1 = F C + m g tan ⁡ 30 °

F 1 = m r ω 2 + m g tan ⁡ 30 °

F 1 = 4     0,25 π 2 + 9,81 0,5773

F 1 = 32,52   N

O que concorda com o nosso resultado anterior!

Resposta

A maior das duas forças de contato mede 32,52   N .

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