A partir do repouso em que θ = 20 ° , uma criança de 35   k g desliza com atrito desprezível para baixo no escorrega que tem a forma de um arco circular com raio de 2,5   m . Determine a aceleração tangencial e a velocidade da criança, e a força normal exercida sobre ela (a) quando θ = 30 ° e (b) quando θ = 90 ° .

Passo 1

Vamos começar desenhando as forças envolvidas:

Nessa situação, é importante saber quem cumpre o papel de força tangencial e de força normal:

F n = N - P cos ⁡ 90 ° - θ = N - P sen ⁡ ( θ )

F t = P sen ⁡ ( 90 ° - θ ) = P cos ⁡ ( θ )

Passo 2

Olhando para essas equações fica fácil calcular a aceleração tangencial:

F t = m a t

a t = P cos ⁡ θ m = g cos ⁡ θ

E ainda podemos usar a aceleração tangencial para calcular a velocidade:

a t = d v d t = d v d s d s d t

Mas d s = r   d θ , então podemos reescrever:

g cos ⁡ θ = v R d v d θ

g R cos ⁡ θ   d θ = v   d v

E podemos integrar essa equação para achar uma fórmula geral para a velocidade em função do ângulo:

∫ θ 0 = 20 ° θ g R cos ⁡ θ   d θ = ∫ v 0 = 0 v v   d v

g R sen ⁡ θ - sen ⁡ 20 ° = v 2 2

v = 2 g R sen ⁡ θ - sen ⁡ 20 °

Passo 3

E agora fica fácil achar uma fórmula para a força normal também, já que:

N - P sen ⁡ θ = m v 2 R

N = m R 2 g R sen ⁡ θ - sen ⁡ 20 ° 2 + m g sen ⁡ θ

N = 2 m g sen ⁡ θ - 2 m g sen ⁡ 20 ° + m g sen ⁡ θ

N = m g 3 sen ⁡ θ - 2 sen ⁡ 20 °

E agora já temos todas as fórmulas de que precisamos.

Passo 4

(a) Quando θ = 30 ° , temos:

a t = g cos ⁡ θ = 8,49   m / s 2

v = 2 g R sen ⁡ θ - sen ⁡ 20 ° = 2,78   m / s

N = m g 3 sen ⁡ θ - 2 sen ⁡ 20 ° = 280   N

E quando θ = 90 °

a t = g cos ⁡ θ = 0

v = 2 g R sen ⁡ θ - sen ⁡ 20 ° = 5,68   m / s 2

N = m g 3 sen ⁡ θ - 2 sen ⁡ 20 ° = 795   N

Resposta

(a) a t = 8,49   m / s 2 ; v = 2,78   m / s ; N = 280   N .

(b) a t = 0 ; v = 5,68   m / s 2 ; N = 795   N .

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