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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 18.Problemas - Ex. 142

Uma esfera homogênea de massa me raio a é soldada a uma haste AB de massa desprezível, que é mantida por um suporte de esfera e encaixe em A. A esfera é liberada na posição β = 0 com uma taxa de precessão ϕ ˙ = ϕ ˙ 0 sem giro ou nutação, Sabendo que o maior valor de β no movimento resultante é 30° determine (a) a taxa de precessão ϕ ˙ 0 da esfera em sua posição inicial, (b) as taxas de precessão e spin quando / β = 30 ∘

Passo 1

Conservação do momento angular sobre os eixos Z e z.

Como as únicas forças externas são o peso da esfera e a reação em A, um raciocínio semelhante ao usado no Problema 18.109 mostra que o momento angular é conservado em torno dos eixos Z e z.

Escolhendo os eixos principais A.xyz mostrados (com y horizontal e apontando para o papel), temos

ω = - ϕ ˙ c o s ⁡ β i + β ˙ j + ( ψ ˙ - ϕ ˙ s i n ⁡ β ) k

Passo 2

Os momentos de inércia são

I z = 2 5 m a 2 I x = I y = 2 5 m a 2 + m ( 2 a ) 2 = 22 5 m a 2

Momentos angulares sobre A

H A = I x ω x i + I y ω y j + I z ω z k H A = - 22 5 m a 2 ϕ ˙ c o s ⁡ β i + 22 5 m a 2 β ˙ j + 2 5 m a 2 ( ψ ˙ - ϕ ˙ s i n ⁡ β ) k

Escrevemos

H Z =  constant e , ou  H A ⋅ K =  constant e

Uma vez que i ⋅ K = - c o s ⁡ β j ⋅ K = 0 , k ⋅ K = - s i n ⁡ β

H 0 ⋅ K = - 22 5 m a 2 ϕ ˙ c o s ⁡ β ( - c o s ⁡ β ) + 2 5 m a 2 ( ψ ˙ - ϕ ˙ s i n ⁡ β ) ( - s i n ⁡ β ) =  constant e

Com as condições iniciais ϕ ˙ = ϕ ˙ 0 , ψ ˙ = β ˙ = 0 , β = 0 , nos encontramos a constante 22 5 m a 2 ϕ ˙ 0 . Então

11 ϕ ˙ c o s 2 ⁡ β - ( ψ ˙ - ϕ ˙ s i n ⁡ β ) s i n ⁡ β = 11 ϕ ˙ 0 (1)

Passo 3

Agora escrevemos H z =  constant e :

H z = 2 5 m a 2 ( ψ ˙ - ϕ ˙ s i n ⁡ β ) = c o n s t a n t e

E, da condição inicial, nós encontramos que a constante é zero. Então,

ψ ˙ - ϕ ˙ s i n ⁡ β = 0 (2)

Conservação de energia

T = 1 2 I x ω x 2 + I y ω y 2 + I z ω z 2 T = 1 2 22 5 m a 2 ϕ ˙ 2 c o s 2 ⁡ β + 22 5 m a 2 β ˙ 2 + 2 5 m a 2 ( ψ ˙ - ϕ ˙ s i n ⁡ β ) 2

Selecionando dados em β = 0 :

V = ∼ 2 m g a s i n ⁡ β

T + V =  constant:  1 2 22 5 m a 2 ϕ ˙ 2 c o s 2 ⁡ β + 22 5 m a 2 β ˙ 2 + 2 5 m a 2 ( ψ ˙ - ϕ ˙ s i n ⁡ β ) 2 - 2 m g a s i n ⁡ β =  constant e

Da condição inicial, ϕ ˙ = ϕ ˙ 0 , ψ ˙ = β ˙ = 0 , β = 0 encontramos que a constante é 11 5 m a 2 ϕ ˙ 0 2 .   E n t ã o

11 ϕ ˙ 2 c o s 2 ⁡ β + 11 β ˙ 2 + ( ψ ˙ - ϕ ˙ s i n ⁡ β ) 2 - 10 g a s i n ⁡ β = 11 ϕ ˙ b 2 (3)

Passo 4

Substituindo para ψ ˙ - ϕ ˙ s i n ⁡ β da Eq(2) nas eq(1) e (3)

Eq (1) 11 ϕ ˙ c o s 2 ⁡ β = 11 ϕ ˙ 0 (l')

Eq(3) 11 ϕ ˙ 2 c o s 2 ⁡ β + 11 β ˙ 2 - 10 g a s i n ⁡ β = 11 ϕ ˙ 0 2 (3’)

Resolvendo 1 '  por  ϕ ˙

ϕ ˙ = ϕ ˙ 0 s e c 2 ⁡ β (4)

Substituindo ϕ ˙ da eq(4) em (3’)

11 ϕ ˙ 0 s e c 2 ⁡ θ 2 c o s 2 ⁡ β + 11 β ˙ 2 - 10 g a s i n ⁡ β = 11 ϕ ˙ 0 2 (5)

Para o valor máximo de β , temos β ˙ = 0 e eq(5) rende

ϕ ˙ 0 2 1 cos 2 ⁡ θ - 1 = 10 11 g a s i n ⁡ β

ϕ ˙ 0 2 = 10 11 g a cos 2 ⁡ β sin ⁡ β (6)

Passo 5

(a) colocando β = 30 ∘ na eq(6) temos

ϕ ˙ 0 2 = 10 g 11 a 0.75 0.5 m 15 11

ϕ ˙ 0 = 15 g 11 a

(b)Substituindo para ϕ ˙ 0 na eq(4) e fazendo β = 30 ∘

ϕ ˙ = ϕ ˙ 0 s e c 2 ⁡ 30 ∘ = 15 g 11 a 4 3 = 15 ( 16 ) 11 ( 9 ) g a

ϕ ˙ = 2 20 g 33 a

Substituindo na eq (4) e fazendo β = 30 ∘ :

ψ ˙ = ϕ ˙ s i n ⁡ 30 ∘ = 1 2 ϕ ˙

ψ ˙ = 20 33 g a

Resposta

a ϕ ˙ 0 = 15 g 11 a

(b)   ϕ ˙ = 2 20 g 33 a

ψ ˙ = 20 33 g a

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