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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 18.Problemas de Revisão - Ex. 152

Cada uma das placas triangulares mostradas na figura tem massa de5 kg e está soldada a um eixo vertical AB. Sabendo que o conjunto giraà taxa constante ω = 8   r a d / s , determine as reações dinâmicas em A e B.

Passo 1

E ai gurizada tudo belezinha???

Por simetria, o centro de massa está em G conforme abaixo.

Velocidade angular e aceleração angular: ω = ω j ,             α = α j = ω ˙ j

Momento angular sobre o centro de massa: H G = - Ī x y ω i + Ī y ω j - Ī y z ω k

Uma vez que o corpo está no x y plano, Ī y z = 0 .

Eixe o referencial Gxyz girar com velocidade angular Ω = ω j .

H G ˙ = ( H G ˙ ) G x y z + Ω × H G

= - Ī x y ω ˙ i + Ī y ω ˙ j + ω j × ( - Ī x y ω i + Ī y ω j )

= - Ī x y α i + Ī y α j + Ī x y ω ² k

Calculo de Ī x y   e   Ī y .   D e i x e : ρ = m A = 2   m a b = m a s s a   p o r   u n i d a d e   d e   a r e a .

I = m a s s a = ρ I a r e a

Passo 2

Para os pares de elementos de área mostrados,

d I x y = 2 x - e l y - e l d A = 2 x 2   y x d y = x ² y d y

I x y = ∫ 0 α x ² y d y = ∫ 0 α b - b y α ² y d y

= ∫ 0 α b ² y d y - 2 b 2 α   ∫ 0 α y 2 d y + b 2 α 2   ∫ 0 α y ³ d y = 1 2   b 2 α 2 - 2 3   b 2 α 3 + 1 4   b 2 α 2 = 1 12   b ² α ²

I y = 2 1 12 α b ³ = 1 6   α b ³

Para a massa, Ī x y = 1 6   m α b

Ī y = 1 3   m α b ²

Passo 3

Uma vez que o centro de massa está no eixo de rotação, a - = 0 .

∑ F = ∑ F c f f :      

A + B = m a - = 0

B = - A

As reações A e B formam um grupo.

∑ M G = H G

M 0 j + c j × A x i + A z k = H G ˙

c A z i + M 0 j - c A x k = H G ˙

Passo 4

Resolva os componentes:

i : c A z = - Ī x y α                     A z = - Ī x y   α c

j :   M 0 = Ī y α

k :   - c A x = Ī x y ω ² A x = - Ī x y   ω ² c

Dadas: m = 5   k g

a = 900   m m = 0.9   m

b = 600 m m = 0.6   m

c = 2 α = 1.8   m

ω = 8   r a d / s

α = 0

Ī y = 1 3   5 0.6 2 = 0.60   k g ∙ m 2

Ī x y = 1 6 5 0.9 0.6 = 0.45   k g ∙ m 2

Da equação: M 0 = 0

Da equação: A x = - ( 0.45 ) ( 8 ) ² 1.8

Da equação: A z = 0

Resposta

a) A = - 16.00   N i

b) B = 16.00   N i

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