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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 18.Problemas - Ex. 103

Para o disco do Problema 18.97, determine (a) o par M 1 j que deve ser aplicado ao braço ABC para dar a ele uma aceleração angular α 1 = - 7.5 r a d / s 2 j quando a 1 = 5 r a d / s , sabendo

que o disco gira a uma taxa constante ω 2 = 15 r a d / s (b) o sistema força-casal que representa a reação dinâmica em A naquele instante. Suponha que ABC tenha uma massa desprezível.

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine (a) o par M 1 j que deve ser aplicado ao braço ABC para dar a ele uma aceleração angular α 1 = - 7.5 r a d / s 2 j quando a 1 = 5 r a d / s , sabendo

que o disco gira a uma taxa constante ω 2 = 15 r a d / s (b) o sistema força-casal que representa a reação dinâmica em A naquele instante. Suponha que ABC tenha uma massa desprezível.

Velocidade angular do disco ω = ω 1 j + ω 2 k = ( 5 r a d / s ) j + ( 15 r a d / s ) k

Massa do disco m = W g = 10 32.2 = 0.31056 l b ⋅ s 2 / f t

Momento de inércia sobre eixos principais passando através do centro de massa

I - x = I - y = 1 4 m r 2 = 1 4 ( 0.31056 ) 6 12 2 = 0.019410 l b ⋅ s 2 ⋅ f t I - z = 1 2 m 2 = 1 2 ( 0.31056 ) 6 12 2 = 0.038820 l b ⋅ s 2 ⋅ i t

Momento angular sobre centro de massa C

H C = I - x ω x i + I - y ω y j + I - z ω z k = 0 + ( 0.019410 ) ( 5 ) j + ( 0.038820 ) ( 15 ) k = ( 0.097051 b ⋅ s ⋅ f t ) j + ( 0.58231 b ⋅ s ⋅ f t ) k

Passo 2

Taxa de mudança de H C . Deixe o quadro Axyz rodar com velocidade angular Ω = ω 1 j

H ˙ C = H ˙ C A x z + Ω × H C = I - x ω ˙ x i + ȷ → y ω ˙ y j + I - z ω ˙ z k + Ω × H C

= 0 + ( 0.019410 ) ( - 7.5 ) j + 0 + 5 j × ( 0.09705 j + 0.5823 k ) = - ( 0.14568 t b ⋅ f t ) j + ( 2.911516 ⋅ f ) i

Posição do vetor no ponto C r C / A = 18 12 i + 9 12 j = ( 1.5 f t ) i + ( 0.75 f t ) j

Velocidade do ponto C, o centro de massa do disco

v C = ω 1 j × r C / A = 5 j × ( 1.5 i + 0.75 j ) = - ( 7.5 f t / s ) k

Aceleração do ponto C

a C = α 1 j × r C / A + ω 1 j × v C = ( - 7.5 j ) × ( 1.5 i + 0.75 j ) + 5 j × ( - 7.5 k ) = 11.25 f t / s 2 k - 37.5 f t / s 2 i

Força efetiva em C

m a C = ( 0.31056 ) ( - 37.5 i + 11.25 k ) = - ( 11.646 l b ) i + ( 3.4938 l b ) k

Equivalência da força externa e efetivas

Componentes lineares

A = m a C A = - ( 11.65 l b ) i + ( 3.49 k b ) k

Passo 3

Momentos sobre A

M A = r C A × m a C + H ˙ C M A = ( 1.5 i + 0.75 j ) × ( - 11.646 i + 3.4938 k ) - 0.14568 j + 2.9115 i

= - 5.2407 j + 8.7345 k + 2.62035 i - 0.14568 j + 2.9115 i = 5.53 i - 5.39 j + 8.73 k

Passo 4

(a) par requerido

M 1 j = - ( 5,39 b ⋅ f t ) j

(b)reação dinâmica

A = - ( 11.651 b ) i + ( 3.49 l b ) k

M A = ( 5.53 l b ⋅ f t ) i + ( 8.73 b ⋅ f t ) k

Resposta

a   M 1 j = - ( 5,39 b ⋅ f t ) j

(b)   M A = ( 5.53 l b ⋅ f t ) i + ( 8.73 b ⋅ f t ) k

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