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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 18.Problemas - Ex. 101

Um disco homogêneo de 3 kg de raio de 60 mim gira conforme mostrado na taxa constante ω 1 = 60 r a d / s .. O disco é apoiado pela haste bifurcada AB, que é soldada ao eixo vertical CBD. O sistema está em repouso quando um par M 0 = ( 0.40   N ⋅ m ) j é aplicado ao eixo por 2 s e então removido. Determine as reações dinâmicas em C e D depois que o casal foi removido.

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine as reações dinâmicas em C e D depois que o casal foi removido

Velocidade angular da haste CBD e do braço BD Ω = ω 2

Velocidade angular do disco A ω = ω 2 j + ω 1 k

Seu momento angular sobre A H A = I - x ω x i + I ~ y ω y j + I ^ z ω z k = I - y ω 2 j + I ~ z ω k

Deixe o quadro de referência Bxyz rodar com velocidade angular Ω

H ˙ A = H A A x y z + Ω × H A = I → y ω ˙ 2 j + I → z ω ˙ 1 k + ω 2 j × I - y ω 2 j + I - z ω 1 k = I ~ 2 ω 1 ω 2 i + I ~ y ω ˙ 2 j + I - z a ˙ 1 k = 1 2 m r 2 ω 1 ω 2 i + 1 4 m r 2 ω ˙ 2 j + 1 2 m r 2 ω ˙ 1 k

Velocidade e aceleração do centro de massa A do disco

v ^ = ω 2 j × c i = - c ω 2 k a → = ω 2 j × c i + ω 2 j × v ¯ = - c ω ˙ 2 k - c ω 2 2 i

Σ F = Σ F e f f = m a -

C x i + C y k + D x i + D z k = m a

Passo 2

Resolva nos componentes

C x + D x = m c ω 2 2 C z + D z = - m C ω ˙ 2

Σ M D = H ˙ D = H ˙ A + r A / × m a → = H ˙ A + ( c i + b j ) × - c ω ˙ 2 k - c ω 2 2 i

M 0 j + 2 b j × C x i + C z k = H ˙ A - m b c ω ˙ 2 i + m c 2 ω ˙ 2 j + m b c ω 2 2 k

2 b C z i + M 0 j - 2 b C x k = m 1 2 r 2 ω 1 ω 2 - b c ω ˙ 2 i + m 1 4 r 2 + c 2 ω ˙ 2 j

+ m 1 2 r 2 ω ˙ 1 + b c ω 2 2 k

j : M 0 = m 1 4 r 2 + c 2 ω ˙ 2

k : C x = - m 2 b 1 2 r 2 ω ˙ 1 + b c ω 2 2 D x = - m 2 b - 1 2 r 2 ω ˙ 1 + b c ω 2 2

i : C z = m 2 b 1 2 r 2 ω 1 ω 2 - b c ω ˙ 2 D z = - m 2 b 1 2 r 2 ω 1 ω 2 + b c ω ˙ 2

Passo 3

Dados

m = 3 k g , r = 60 m m = 0.06 m , b = 75 m m = 0.075 m c = 100 m m = 0.1 m ω 1 = 60 r a d / s , ω ˙ 1 = 0

Enquanto o par é aplicado M 0 = 0.4 N ⋅ m

ω 2 = M 0 m 1 4 r 2 + c 2 = 0.4 ( 3 ) 1 4 ( 0.06 ) 2 + ( 0.1 ) 2 = 12.2324 r a d / s 2

Em t=2s ω 2 = ω 2 0 + ω ˙ 2 t = 0 + ( 12.2324 ) ( 2 ) = 24.465 k a d / s

Para t > 2 s M 0 = 0 , ω ˙ 2 = 0

C x = - 3 ( 2 ) ( 0.075 ) 0 + ( 0.075 ) ( 0.1 ) ( 24.465 ) 2 = - 89.8 N D x = - 3 ( 2 ) ( 0.075 ) - 0 + ( 0.075 ) ( 0.1 ) ( 24.465 ) 2 = - 89.8 N

C z = 3 ( 2 ) ( 0.075 ) 1 2 ( 0.06 ) 2 ( 60 ) ( 24.465 ) - 0 = 52.8 N D z = 3 ( 2 ) ( 0.075 ) - 1 2 ( 0.06 ) 2 ( 60 ) ( 24.465 ) - 0 = - 52.8 N

C = - ( 89.8 N ) i + ( 52.8 N ) k D = - ( 89.8 N ) i - ( 52.8 N ) k

Resposta

C = - ( 89.8 N ) i + ( 52.8 N ) k D = - ( 89.8 N ) i - ( 52.8 N ) k

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