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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 18.Problemas - Ex. 136

Um disco homogêneo de raio de 180 mm é soldado a uma haste AG de comprimento 360 mm e de massa desprezível, que é conectada por uma manilha a um eixo vertical. A haste e o disco podem girar livremente em torno de um eixo horizontal AC e o eixo AB pode girar livremente em torno de um eixo vertical. inicialmente, a haste AG é horizontal θ 0 = 90 ∘ e não tem velocidade angular em torno de AC. Sabendo que o menor valor de θ no movimento resultante é 30°, determine (a) a velocidade angular inicial do eixo AB, (b) sua velocidade angular máxima.

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine velocidade angular inicial do eixo AB, (b) sua velocidade angular máxima

Deixe Z como eixo vertical

Para principais eixos xyz com origem em A, o momento principal de inércia é

I ' = I x = I y = m 1 4 a 2 + ( 2 a ) 2 = 17 4 m a 2

I = I z = 1 2 m a 2

Componentes da velocidade angular

ω x = φ ˙ s i n ⁡ θ ω y = - θ ˙ ω z = ψ ˙ + φ ˙ c o s ⁡ θ

Passo 2

Momento angular sobre A

H A = I x ω x 1 + I y ω y j + I z ω z k = I ' φ ˙ s i n ⁡ θ i - I ' θ ˙ j + I ω z k

Energia cinética

T = 1 2 I x ω x 2 + 1 2 I y ω y 2 + 1 2 I z ω z 2 T = 1 2 I ' φ ˙ 2 s i n 2 ⁡ θ + θ ˙ 2 + 1 2 l ω z 2

Energia potencial

V = - 2 m g a c o s ⁡ θ

Passo 3

Conservação do momento angular sobre eixos fixados z

H A ⋅ K = H A ⋅ ( i s i n ⁡ θ + k c o s ⁡ θ )

= I ' φ ˙ s i n 2 ⁡ θ + I ω z c o s ⁡ θ = 17 4 m a 2 φ ˙ sin 2 ⁡ θ + 1 2 m a 2 ω z cos ⁡ θ = α                               ( 1 )

Em que α   é   u m a   c o n s t a n t e

Conservação de energia

T + V = E ,   e m   q u e     E   é   u m a   c o n s t a n t e .   17 8 m a 2 φ ˙ 2 sin 2 ⁡ θ + θ ˙ 2 + 1 4 m a 2 ω 2 2 - 2 m g a cos ⁡ θ = E                   ( 2 )

Restrição da manilha

ψ ˙ = 0           ω z = φ ˙ c o s ⁡ θ

Passo 4

(a) em  θ = θ m = 30 ∘  e em  θ = θ 0 = 90 ∘ , θ ˙ = 0  .

Da eq(1) 17 4 m a 2 φ ˙ m s i n 2 ⁡ θ m + 1 2 m a 2 φ ˙ m c o s 2 ⁡ θ m = 17 4 m a 2 φ ˙ 0 s i n 2 ⁡ θ 0 + 0

17 4 1 2 2 + 1 2 3 2 2 m a 2 φ ˙ m = 17 4 m a 2 φ ˙ 0

φ ˙ m = 68 23 φ ˙ 0

Da eq (2)

17 8 m a 2 68 23 φ ˙ 0 2 sin 2 ⁡ 30 ∘ + 1 4 m a 2 68 23 φ ˙ 0 2 cos 2 ⁡ 30 ∘ - 2 m g a cos ⁡ 30 ∘

= 17 32 m a 2 φ ˙ 0 2 s i n 2 ⁡ 90 ∘ + 1 4 m a 2 φ ˙ 0 2 c o s 2 ⁡ 90 ∘ - 2 m g a c o s ⁡ 90 ∘

17 32 + 3 16 68 23 2 - 17 8 m a 2 φ ˙ 0 2 = 2 m g a c o s ⁡ 30 ∘

φ ˙ 0 2 = 0.41660 g a

= 0.41660 9.81 0.18 = 22.705

φ ˙ 0 = 4.7649 r a d / s

φ ˙ 0 = 4.76 r a d / s

Passo 5

(b) φ ˙ m = 68 23 ( 4.2292 )

φ ˙ m = 14.09 r a d / s

Resposta

a   φ ˙ 0 = 4.76 r a d / s

(b)   φ ˙ m = 14.09 r a d / s

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