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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 18.Problemas - Ex. 123

Usando a relação dada no Problema 18.121, determine o período de precessão do pólo norte da Terra em torno do eixo de simetria da Terra. A terra pode ser aproximada por um esferóide oblato de momento axial de inércia I e de momento transversal de inércia I ' = 0.99671 . (Nota: as observações reais mostram um período de precessão do pólo norte de cerca de 432,5 dias solares médios; a diferença entre os períodos observados e computados deve-se ao fato de que a Terra não é um corpo perfeitamente rígido. A precessão livre considerada aqui deveria não deve ser confundida com a precessão muito mais lenta dos equinócios, que é uma precessão forçada. Veja o Problema 18.117.)

Passo 1

Velocidade angular do corpo ω = - φ ˙ s i n ⁡ θ i + ( φ ˙ c o s ⁡ θ + ψ ˙ ) k

Deixe o quadro de referência Gxyz rodar com velocidade angular Ω , em que

Ω = - φ ˙ s i n ⁡ θ i + φ ˙ c o s ⁡ θ j

Aceleração angular do corpo α = ω ˙ G x y z + Ω × ω

Passo 2

A taxa de variação da velocidade angular observada do corpo é —a. Suponha que -a pode ser representado como o vetor de velocidade angular girando com velocidade angular

l i + m j + n k

- α = ( l i + m j + n k ) × ω x i + ω 2 k = - m ω z i + n ω x - t ω z j - m ω x k

Componentes correspondentes

i : 0 = m ω z m = 0

j : - φ ˙ ψ ˙ s i n ⁡ θ = n ω x - l ω 2 (1)

k : 0 = - m ω x m = 0

Da eq(1) - φ ˙ ψ ˙ s i n ⁡ θ = - n φ ˙ s i n ⁡ θ - l ( φ ˙ c o s ⁡ θ + ψ )

No qual l = 0  e  n = ψ ˙

Usando eq (18.44) com Σ M 0 = 0  rende  I ω z - I ' φ ˙ c o s ⁡ θ = 0

Ou φ ˙ c o s ⁡ θ = I ω z I '

Mas

ω x = ψ ˙ + φ ˙ c o s ⁡ θ = ψ ˙ + I ω z r '

Resolvendo ψ ˙

ψ ˙ = I ' - I I ω z

Passo 3

Usando ω z = ω 2  e  n = ψ ˙  rende  n = l ' - I I ' ω 2

Dados da Terra

I ' = 0.99671

I ' - I = - 0.0033 I

n = - 0.0033 09967 ω 2 = - 0.003311 o 2

períod o   = 2 π | n | = 1 0.003311 2 π ω 2 = 302.03 2 π ω 2 = ( 302.03 ) ( 24 h ) = 7248 h

períod o   = 302  dias

Resposta

períod o   = 302  dias

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