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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 18.Problemas - Ex. 138

Um disco homogêneo de raio de 180 mm é soldado a uma haste AG de comprimento 360 mm e de massa desprezível, que é suportada por uma esfera e encaixe em A. O disco é liberado com uma taxa de rotação ψ ˙ 0 no sentido anti-horário como visto de A, com taxas zero de precessão e notação, e com haste AG horizontal θ 0 = 90 ∘ . Sabendo que o menor valor de θ no movimento resultante é 30 °, determine (a) a taxa de rotação ψ ˙ 0 do disco em sua posição inicial, (b) as taxas de precessão e rotação conforme o disco passa por sua posição mais baixa.

Passo 1

Deixe Z como eixo vertical

Para principais eixos xyz com origem em A, o momento principal de inércia é

I ' = I x = I y = m 1 4 a 2 + ( 2 a ) 2 = 17 4 m a 2

I = I z = 1 2 m a 2

Componentes da velocidade angular

ω x = φ ˙ s i n ⁡ θ ω y = - θ ˙ ω z = ψ ˙ + φ ˙ c o s ⁡ θ

Passo 2

Momento angular sobre A

H A = I x ω x 1 + I y ω y j + I z ω z k = I ' φ ˙ s i n ⁡ θ i - I ' θ ˙ j + I ω z k

Energia cinética

  1. T = 1 2 I x ω x 2 + 1 2 I y ω y 2 + 1 2 I z ω z 2 T = 1 2 I ' φ ˙ 2 s i n 2 ⁡ θ + θ ˙ 2 + 1 2 l ω z 2

Energia potencial

V = - 2 m g a c o s ⁡ θ

Passo 3

Conservação do momento angular sobre eixos fixados z

H A ⋅ K = H A ⋅ ( i s i n ⁡ θ + k c o s ⁡ θ )

= I ' φ ˙ s i n 2 ⁡ θ + I ω z c o s ⁡ θ = 17 4 m a 2 φ ˙ sin 2 ⁡ θ + 1 2 m a 2 ω z cos ⁡ θ = α                               ( 1 )

Em que α   é   u m a   c o n s t a n t e

Conservação de energia

T + V = E ,   e m   q u e     E   é   u m a   c o n s t a n t e .   17 8 m a 2 φ ˙ 2 sin 2 ⁡ θ + θ ˙ 2 + 1 4 m a 2 ω 2 2 - 2 m g a cos ⁡ θ = E                   ( 2 )

Deixe o quadro de referência Axyz rodar com velocidade angular

Ω = φ ˙ s i n ⁡ θ i - θ ˙ j + φ ˙ c o s ⁡ θ k

Σ M A = H ˙ A = H ˙ A A x y z + Ω × H A

m g a s i n ⁡ θ j = I ' d d t ( φ ˙ s i n ⁡ θ ) i - I ' θ ¨ j + I d ω z d t k + Ω × H A

Componente z 0 = I d ω 2 d t + k ⋅ Ω × H A

0 = I d ω 2 d t + k ⋅ Ω × H A 0 = I d ω z d t + 0 0 1 φ ˙ s i n ⁡ θ - θ ˙ φ ˙ c o s ⁡ θ I φ ˙ s i n ⁡ θ - I ' θ ˙ ω z

= I d ω z d t + 0 = I d ω z d t

Integrando I ω z = β (3)

Em que β   é   uma constante

Passo 4

Dados

θ 0 = 90 ∘ φ ˙ 0 = 0 θ ˙ 0 = 0

Da eq (3) ω 2 = ψ ˙ 0

Da eq(1) 17 4 m a 2 φ ˙ s i n 2 ⁡ θ + 1 2 m a 2 ω z c o s ⁡ θ = 17 4 m a 2 φ ˙ 0 s i n 2 ⁡ 90 ∘ + 1 2 m a 2 ω 2 c o s ⁡ 90 ∘

φ ˙ = - 2 17 ω z c o s ⁡ θ sin 2 ⁡ θ (4)

Da eq(2) 17 8 m a 2 φ ˙ 2 s i n 2 ⁡ θ + θ ˙ 2 + 1 4 m ω z 2 - 2 m g a c o s ⁡ θ = 17 8 m a 2 φ ˙ 0 2 s i n 2 ⁡ θ 0 + θ ˙ 0 2 + 1 4 m ω z 2 - 2 m g a c o s ⁡ 90 ∘

Ou 17 8 m a 2 φ ˙ 2 s i n 2 ⁡ θ + θ ˙ 2 = 2 m g a c o s ⁡ θ

Passo 5

(a) At  θ = θ m ,

θ ˙ = 0

17 8 m a 2 φ ˙ m 2 s i n 2 ⁡ θ m = 2 m g a c o s ⁡ θ t m

17 8 m a 2 - 2 17 ω z c o s ⁡ θ m sin 2 ⁡ θ m 2 s i n 2 ⁡ θ m = 2 m g a c o s ⁡ θ m

1 34 m a 2 ω z 2 c o s 2 ⁡ θ m sin 2 ⁡ θ m = 2 m g a c o s ⁡ θ m

ω z 2 = 68 g a sin 2 ⁡ θ m cos ⁡ θ m

= ( 68 ) 9.81 0.18 sin 2 ⁡ 30 ∘ cos ⁡ 30 ∘ = 1069.83

ω z = 32.708 r a d / s

Da eq(3) ψ ˙ 0 = ω z

ψ ˙ 0 = 32.7 r a d / s

(b) da eq(4) φ ˙ = - 2 17 ( 32.708 ) c o s ⁡ 30 ∘ sin 2 ⁡ 30 ∘

φ ˙ = - 13.33 r a d / s

ψ ˙ = ω z - φ ˙ m c o s ⁡ θ m = 32.708 - ( - 13,33 ) c o s ⁡ 30 ∘

ψ = 44.3 r a d / s

Resposta

( a )   ψ ˙ 0 = 32.7 r a d / s

(b)   φ ˙ = - 13.33 r a d / s

ψ = 44.3 r a d / s

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