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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 18.Problemas - Ex. 132

A esguia haste homogênea AB de massa tn e comprimento L está livre para girar em torno de um eixo horizontal através de seu centro de massa G. O eixo é apoiado por uma estrutura de massa desprezível, que é livre para girar em torno da vertical. CD. Sabendo que, inicialmente, θ = θ 0 , θ ˙ = 0 ,  and  ϕ = ϕ ˙ 0 , mostram que a haste irá oscilar em torno do eixo horizontal e determinar (a) a faixa de valores do ângulo θ durante este movimento, (b) o valor máximo de. θ , (c) o valor mínimo de ϕ . .

Passo 1

O exercício pede que a gente determine a faixa de valores do ângulo θ durante este movimento, (b) o valor máximo de. θ , (c) o valor mínimo de ϕ . .

Velocidade angular

Usando os eixos de coordenadas x, y, z mostrados (com y entrando no papel), temos

ω = - ϕ ˙ s i n ⁡ θ i + θ ˙ j + ϕ ˙ c o s ⁡ θ k (1)

Momento de inércia

Para haste delgada de comprimento L e massa m

I ~ x = I ~ y = 1 12 m L 2

I - z = 0 (2)

Conservação de energia

Uma vez que os eixos x,y,z são eixos principais, usamos

T = 1 2 I - x ω x 2 + I - y ω y 2 + I - z ω z 2 = 1 2 1 12 m L 2 ϕ ˙ 2 s i n 2 ⁡ θ + 1 12 m L 2 θ ˙ 2 + 0

T = 1 24 m L 2 ϕ ˙ 2 s i n 2 ⁡ θ + θ ˙ 2 (3)

Usando dados sobre G, temos v =0

T + V =  constant e :  1 24 m L 2 ϕ ˙ 2 s i n 2 ⁡ θ + θ ˙ 2 =  constant e

Relembrando a condição inicial θ = θ 0 , θ ˙ = 0 , φ ˙ = ϕ ˙ 0 , determinamos a constante e escrevemos ϕ ˙ 2 s i n 2 ⁡ θ + θ ˙ 2 = ϕ ˙ i 2 s i n 2 ⁡ θ 0 (4)

Passo 2

Conservação do momento angular

já que as únicas forças exercidas sobre a haste são seu peso e a reação. em G, temos Σ M G = 0 . Usando um referencial fixo GXYZ, com Z direcionado verticalmente para cima, temos da Eq. (18,2)

H ˙ G = Σ M C = 0

Ou integrando com respeito ao quadro GXYZ

H G =  constant e

Considerando o componente vertical de Hg

H Z =  constant e

Mas

H Z = H 2 c o s ⁡ θ - H x s i n ⁡ θ = I - z ω z c o s ⁡ θ ⋯ I - x ω x s i n ⁡ θ = 0 - 1 12 m L 2 ( - ϕ ˙ s i n ⁡ θ ) s i n ⁡ θ

Então

H Z = 1 12 m I 2 ϕ ˙ s i n 2 ⁡ θ =  constant e

Relembrando a condição inicial, temos

ϕ ˙ s i n 2 ⁡ θ = ϕ ˙ 0 s i n 2 ⁡ θ 0 (5)

Resolvendo equação (5) para ϕ ˙ e substituindo na equação 4

ϕ ˙ 0 s i n 2 ⁡ θ 0 sin 2 ⁡ θ 2 s i n 2 ⁡ θ + θ ˙ 2 = ϕ ˙ s i n 2 ⁡ θ 0

θ ˙ 2 = ϕ 0 2 s i n 2 ⁡ θ 0 1 - sin 2 ⁡ θ 0 sin 2 ⁡ θ (6)

Passo 3

(a) Faixa de valores de θ

Uma vez que θ ˙ ≥ 0 , temos

1 - sin 2 ⁡ θ 0 sin 2 ⁡ θ ≥ 0

s i n 2 ⁡ θ ≥ s i n 2 ⁡ θ 0 | s i n ⁡ θ | ⩾ sin ⁡ θ 0

Para o círculo trigonométrico, concluímos que a faixa é θ 0 ≤ θ ≤ 180 ∘ - θ 0

Haste oscila sobre o eixo sobre a linha horizontal (linha demarcada)

Passo 4

(b) valor máximo de θ ˙

Referente a eq(6), notamos que isso ocorre quando s i n ⁡ θ = 1 que é θ = 90 ∘

Temos θ ˙ m a x 2 = ϕ ˙ 0 2 s i n 2 ⁡ θ 0 1 - s i n 2 ⁡ θ 0

= ϕ ˙ 0 2 s i n 2 ⁡ θ 0 c o s 2 ⁡ θ 0

θ ˙ m a x = ϕ ˙ 0 s i n ⁡ θ 0 c o s ⁡ θ 0

(c) valor máximo de ϕ ˙ 0

Referente a eq(5), notamos que isso ocorre quando s i n ⁡ θ = 1 que é θ = 90 ∘

ϕ ˙ min  = ϕ ˙ 0 s i n 2 ⁡ θ 0

Resposta

a θ 0 ≤ θ ≤ 180 ∘ - θ 0

(b)   θ ˙ m a x = ϕ ˙ 0 s i n ⁡ θ 0 c o s ⁡ θ 0

(c)   ϕ ˙ min  = ϕ ˙ 0 s i n 2 ⁡ θ 0

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