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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 15.Problemas - Ex. 85

Dois discos A e B têm massa de 1 5   k g e 10   k g , respectivamente. Se eles deslizam sobre um plano horizontal liso com as velocidades mostradas, determine suas velocidades escalares logo após o impacto. O coeficiente de restituição entre os discos é e = 0,8 .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Vamos aplicar a conservação de quantidade de movimento linear paras os corpos A e B , para analisar as velociadades antes e após o impacto.

Como temos componentes das velocidades em y e x , então vamos analisar para os dois eixos:

+ ↗     ∑ m 1 v x 1 = ∑ m 2 v x 2

m A v A x + m B v B x = m A v A ' x + m B v B ' x

15 10 3 5 - 10 8 3 5 = 15 v A ' cos ⁡ θ A + 10 v B ' cos ⁡ θ B

15 v A ' cos ⁡ θ A + 10 v B ' cos ⁡ θ B = 42

Aplicando o mesmo procedimento de conservação de quantidade de movimento linear para o eixo y , temos:

+ ↖       m A v A y = m A v A ' y

15 10 4 5 = 15 v A ' sin ⁡ θ A

v A ' sin ⁡ θ A = 8   m / s

+ ↖       m B v B y = m B v B ' y

10 8 4 5 = 10 v B ' sin ⁡ θ B

v B ' sin ⁡ θ B = 6,4   m / s

Analisando a restituição, temos:

+ ↗     e = v A ' x - v B ' x v B x - v A x

0 , 8 = v B ' cos ⁡ θ B - v A ' cos ⁡ θ A 10 3 5 - - 8 3 5

v B ' cos ⁡ θ B - v A ' cos ⁡ θ A = 8,64

Agora, vamos subtrair as seguintes equações:

v B ' cos ⁡ θ B - v A ' cos ⁡ θ A = 8,64

1 , 5 v A ' cos ⁡ θ A + v B ' cos ⁡ θ B = 4 , 2

Temos:

v B ' cos ⁡ θ B - v A ' cos ⁡ θ A - 1,5 v A ' cos ⁡ θ A + v B ' cos ⁡ θ B = 8,64 - 4 , 2

- 2 , 5 v A ' cos ⁡ θ A = 4,44

v A ' cos ⁡ θ A = - 1,776

Temos que:

v B ' cos ⁡ θ B - ( - 1,776 ) = 8,64

v B ' cos ⁡ θ B = 6,864

Passo 2

Agora só precisamos fazer algumas manipulações para conseguir encontrar os nossos resultados:

v A ' sin ⁡ θ A v A ' cos ⁡ θ A = 8 1,776

tan ⁡ θ A = 8 1,776

θ A = tan - 1 ⁡ 8 1,776

θ A = 102,52 °

Logo:

v A ' cos ⁡ 102,52 ° = 1,776

v A ' = - 8,19   m / s

Fazendo o mesmo procedimento para B , temos:

v B ' sin ⁡ θ B v B ' cos ⁡ θ B = 6,4 6,864

tan ⁡ θ B = 6,4 6,864

θ B = tan - 1 ⁡ 6,4 6,864

θ B = 43 °

E:

v B ' cos ⁡ 43 ° = 6,864

v B ' = 9,38   m / s

Resposta

θ A = 102,52 °

v A ' = 8,19   m / s

θ B = 43 °

v B ' = 9,38   m / s

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