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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 15.Problemas - Ex. 86

Dois discos A e B têm massa de 6   k g e 4   k g , respectivamente. Se eles deslizam sobre um plano horizontal liso com as velocidades mostradas, determine suas velocidades logo após o impacto. O coeficiente de restituição entre os discos é e = 0,8 .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Vamos aplicar a conservação de quantidade de movimento linear paras os corpos A e B , para analisar as velociadades antes e após o impacto.

Como temos componentes das velocidades em y e x , então vamos analisar para os dois eixos:

+ ↘     ∑ m 1 v x 1 = ∑ m 2 v x 2

m A v A x + m B v B x = m A v A ' x + m B v B ' x

- 6 10 cos ⁡ 75 ° + 4 5 cos ⁡ 60 ° = 6 v A ' cos ⁡ θ A - 4 v B ' cos ⁡ θ B

4 v A ' cos ⁡ θ A - 6 v B ' cos ⁡ θ B = 5,529

Aplicando o mesmo procedimento de conservação de quantidade de movimento linear para o eixo y , temos:

+ ↗       m A v A y = m A v A ' y

6 10 sin ⁡ 75 ° = 6 v A ' sin ⁡ θ A

v A ' sin ⁡ θ A = 9,659   m / s

+ ↗       m B v B y = m B v B ' y

4 5 sin ⁡ 60 ° = 4 v B ' sin ⁡ θ B

v B ' sin ⁡ θ B = 4,33   m / s

Analisando a restituição, temos:

+ ↘     e = v A ' x - v B ' x v B x - v A x

0 , 8 = - v B ' cos ⁡ θ B - v A ' cos ⁡ θ A - 10 cos ⁡ 75 ° - 5 cos ⁡ 60 °

v B ' cos ⁡ θ B + v A ' cos ⁡ θ A = 3,053

Agora, vamos subtrair as seguintes equações:

4 v B ' cos ⁡ θ B + 4 v A ' cos ⁡ θ A = 12,212

4 v A ' cos ⁡ θ A - 6 v B ' cos ⁡ θ B = 5,529

Temos:

4 v B ' cos ⁡ θ B + 4 v A ' cos ⁡ θ A - 4 v A ' cos ⁡ θ A - 6 v B ' cos ⁡ θ B = 12,212 - 5,529

10 v A ' cos ⁡ θ A = 6,683

v A ' cos ⁡ θ A = 0 , 6683

Temos que:

v B ' cos ⁡ θ B + 0,6683 = 8,64

v B ' cos ⁡ θ B = 7,9717

Passo 2

Agora só precisamos fazer algumas manipulações para conseguir encontrar os nossos resultados:

v A ' sin ⁡ θ A v A ' cos ⁡ θ A = 9,659 0,6683

tan ⁡ θ A = 9,659 0,6683

θ A = tan - 1 ⁡ 9,659 0,6683

θ A = 86,04 °

Logo:

v A ' cos ⁡ 86,04 ° = 0,6683

v A ' = 9,68   m / s

Fazendo o mesmo procedimento para B , temos:

v B ' sin ⁡ θ B v B ' cos ⁡ θ B = 4,33 7,9717

tan ⁡ θ B = 4,33 7,9717

θ B = tan - 1 ⁡ 4,33 7,9717

θ B = 61,16 °

E:

v B ' cos ⁡ 61,16 ° = 7,9717

v B ' = 4,94   m / s

Resposta

θ A = 86,04 °

v A ' = 9,68   m / s

θ B = 61,16 °

v B ' = 4,94   m / s

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