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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 5.7 - Ex. 182

Dois satélites estão em orbitas circulares equatoriais de diferentes altitudes. O satélite A está em uma órbita geossíncrona (uma com o mesmo período que o da rotação da Terra, de modo que ele “paira” sobre o mesmo ponto no equador). O satélite B possui uma órbita de raio r b = 30000   k m . Calcule a velocidade que A aparenta ter para um observador fixo em B quando o ângulo de elevação θ é igual a (a) 0 °   e   b 90 ° . Os eixos x-y esrão presos em B, cuja antena sempre aponta para o centro da Terra (direção y). Consulte a Seção 3/13 e o apêndice D para as informações necessárias sobre as órbitas.

Passo 1

Bom pessoal, vamos buscar na Seção 3/13 e o apêndice D/2 as informações necessárias para a resolução do problema.

R = 6371   k m

g = 9,825   m / s 2

ω T = 7,292 × 10 - 5 r a d / s

Uma órbita circular pode ser encontrada a partir da relação:

v = R g r  

Juntando essa equação de cima com v = r ω , podemos calcular o raio de órbita de A:

r A ω T = R g r A → r A = R 2 g ω T 2   3 = ( 6371 ) 2 9,825 7,292 × 10 - 5 2   3 = 42171   k m

E também podemos calcular as velocidades de A e B por esta equação:

v A = R g r = 6371000 9,825 42171000 = 3075,15 m s = 11070,6 k m h

v B = R g r = 6371000 9,825 30000000 = 3646 m s = 13125,5 k m h

Podemos ainda calcular a velocidade angular de B por:

ω = v B r B = 13125,5 30000 = 0,4375 r a d h

Passo 2

  1. Nesta condição, θ = 0 . Então temos o seguinte:

    2. Pelo triangulo retângulo formado ABC, podemos calcular o ângulo β e a distancia r A B :

    β = cos - 1 ⁡ r B r A = cos - 1 ⁡ 30000 42171 = 44,65 °

    r A B = 29636,7   k m

    Agora usamos a equação da velocidade relativa:

    v A = v B + ω × r A B

    11070,6 - cos ⁡ 44,65 i ^ + s e n 44,65 j ^ = - 13125,5   i ^ + 0,4375 k ^ × 29636,7   i ^ + v r e l

    v r e l = 5250   i ^ - 5190 j ^   k m / h

    Passo 3

  2. Nesta condição, θ = 9 0 . Então temos o seguinte:

Logo r A B = 42171 - 30000 = 12171   k m

Agora usamos a equação da velocidade relativa:

v A = v B + ω × r A B

- 11070,6 i ^ = - 13125,5   i ^ + 0,4375 k ^ × 29636,7   i ^ + v r e l

v r e l = 7380   i ^   k m / h

Resposta

  1. v r e l = 5250   i ^ - 5190 j ^ k m h
  2. v r e l = 7380   i ^   k m / h
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